Der Grenzwertbegriff

In Kapitel 2 geht es um unterschiedliche Aspekte des Grenzwertbegriffs. Das beginnt mit der Konvergenz von Folgen und Reihen, danach werden Grenzwerte von Funktionen und der damit zusammenhängende Stetigkeitsbegriff untersucht. Beides zusammen ermöglicht es, Reihen von Funktionen und speziell Potenzreihen auf Konvergenz zu untersuchen. Dabei wird zunächst auf den etwas schwierigen Begriff der gleichmäßigen Konvergenz verzichtet (dererst in Kapitel 4 auftauchen wird), stattdessen wird mit dem etwas einfacheren Begriff der normalen Konvergenz gearbeitet. Die wichtigste Anwendung ist die Einführung der elementaren Funktionen, also der Exponentialfunktion und der Winkelfunktionen, sowie einiger davon abgeleiteten Funktionen (z.B. Logarithmus und Hyperbelfunktionen). Als Bonus findet sich hier außerdem ein Abstecher in die Konvergenzuntersuchungen von Folgen in höher dimensionalen Räumen. Speziell werden kompakte Mengen mit Hilfe von Folgen definiert. Die äquivalente Charakterisierung mit Hilfe von Überdeckungen kann erst im Grundkurs Analysis 2 bewiesen werden.Das Kapitel schließt mit einer Einführung in die Integralrechnung mit Hilfe Riemann’scher Summen. Insbesondere kann damit der natürliche Logarithmus als Integral identifiziert werden.