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2017 | Buch

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Design Patterns für mathematische Beweise

Ein Leitfaden insbesondere für Informatiker

verfasst von: Prof. Dr. Hans Jürgen Ohlbach, Dr. Norbert Eisinger

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Dieses Buch behandelt einfache Beweismuster wie Fallunterscheidung, Allbeweis, Implikationsbeweis, komplexe Beweismuster wie Kontraposition, Widerspruchsbeweis, Diagonalisierung sowie die verschiedenen Varianten der vollständigen Induktion bis hin zur transfiniten Induktion. Damit gibt es Antworten auf Fragen wie Was genau ist eigentlich ein Widerspruchsbeweis? Oder eine Widerlegung? Und wie hängen sie miteinander zusammen? Die Autoren versuchen, derartige fragen zu erörtern, indem sie verbreitete Beweismuster und anhand von allgemein verständlichen Beispielen aus dem Alltag, der Mathematik und der Informatik zu verdeutlichen.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Einfache und komplexe Beweismuster

Frontmatter
Chapter 1. Einleitung
Zusammenfassung
Dass zwischen Computerprogrammen und mathematischen Beweisen große Ähnlichkeiten bestehen, dürften viele Informatiker und Mathematiker auf den ersten Blick wohl bezweifeln. Aber Programme und Beweise haben tatsächlich eine ganze Reihe von Gemeinsamkeiten.
Hans Jürgen Ohlbach, Norbert Eisinger
Chapter 2. Vorbereitung: Arten des Schließens
Zusammenfassung
Alle Arten des Schließens haben gemeinsam, dass man von gegebener Information ausgeht und daraus neue Information gewinnt. Die gegebene Information wird als Voraussetzung(en) bezeichnet, die neu gewonnene Information als Konklusion.
Hans Jürgen Ohlbach, Norbert Eisinger
Chapter 3. Vorbereitung: Schreibweisen der Logik
Zusammenfassung
Die natürliche Sprache ist in den allermeisten Situationen das optimale Medium für die Kommunikation zwischen Menschen. Zur Übermittlung formaler, insbesondere mathematischer, Sachverhalte ist eine natürliche Sprache allerdings weniger geeignet. Sie ist für diesen Zweck meistens ziemlich langatmig und unübersichtlich und oft sogar zu unpräzise.
Hans Jürgen Ohlbach, Norbert Eisinger
Chapter 4. Einfache Beweismuster
Zusammenfassung
Ein Beweis ist ein Nachweis, dass zwischen Voraussetzungen und Behauptung die logische Folgerungsbeziehung besteht (siehe Abschnitt 2.5 und 2.1). Die einfachen Muster für einen solchen Nachweis haben in der Regel die Gestalt einer Argumentkette, die mit Voraussetzungen beginnt und mit der Behauptung endet. Einige dieser Muster zerlegen vorher die Behauptung in einfachere Bestandteile.
Hans Jürgen Ohlbach, Norbert Eisinger
Chapter 5. Komplexe Beweismuster
Zusammenfassung
Eine einzelne Argumentkette wie in Kapitel 4 reicht für einen Beweis nicht immer aus. Komplexere Beweismuster kombinieren deshalb mehrere solcher Argumentketten, manchmal in Form von getrennten Teilbeweisen, um einen Beweis zu ergeben. Bei einigen dieser Muster wird nicht die gegebene, sondern eine alternative Behauptung bewiesen, so dass aus deren Beweis folgt, dass auch die ursprüngliche Behauptung gilt.
Hans Jürgen Ohlbach, Norbert Eisinger
Chapter 6. Vollständige Induktion
Zusammenfassung
Das insbesondere in der Informatik vielleicht am häufigsten verwendete Beweismuster wurde schon in Abschnitt 2.2 angesprochen: die vollständige Induktion. Als komplexes Beweismuster müsste die vollständige Induktion strenggenommen Thema eines Abschnitts von Kapitel 5 sein. Der Stoff zur vollständigen Induktion ist aber selbst so reichhaltig strukturiert, dass seine Behandlung in einem eigenen Kapitel sinnvoller erscheint.
Hans Jürgen Ohlbach, Norbert Eisinger

Transfinite Ordinalzahlen und transfinite Induktion

Frontmatter
Chapter 7. Einleitung zu Teil II
Zusammenfassung
Teil I dieses Leitfadens behandelt unter anderem eine Vielzahl verschiedener Formen der vollständigen Induktion. Ihnen allen ist gemeinsam, dass sämtliche Objekte, über die Aussagen gemacht werden, bezüglich einer gegebenen Nachbarschaftsbeziehung nur endlich weit von irgendwelchen Startobjekten entfernt sind. Objekte, die nicht in endlich vielen Schritten von Startobjekten aus erreichbar sind, können von diesen Beweismustern grundsätzlich nicht erfasst werden.
Hans Jürgen Ohlbach, Norbert Eisinger
Chapter 8. Vollständige Induktion und Grenzwertbildung
Zusammenfassung
Das Phänomen der Unendlichkeit begegnet einem zu Beginn der Mathematikausbildung meistens in der Analysis. Dort betrachtet man unter anderem Folgen und Reihen und untersucht, wie sie sich verhalten, wenn der Index immer größer wird.
Hans Jürgen Ohlbach, Norbert Eisinger
Chapter 9. Transfinite Ordinalzahlen
Zusammenfassung
Dieses Kapitel behandelt die sogenannten Ordinalzahlen, die man als Erweiterung der natürlichen Zahlen um zusätzliche Objekte ansehen kann. Die zusätzlichen Objekte sind bezüglich der Nachfolgerbeziehung unendlich weit von jeder natürlichen Zahl entfernt. Dass es trotzdem eine Form der vollständigen Induktion dafür gibt, ist kein Thema dieses Kapitels, sondern von Kapitel 10.
Hans Jürgen Ohlbach, Norbert Eisinger
Chapter 10. Transfinite Induktion
Zusammenfassung
Im Endeffekt ist „transfinite Induktion“ einfach eine andere Bezeichnung für „Noethersche Induktion mit der <-Beziehung für Ordinalzahlen“. Deshalb wäre es naheliegend, das Beweisschema analog zu dem der Noetherschen Induktion. zu formulieren. Es ist aber meistens günstiger, die Teilbeweise nach den drei Arten von Ordinalzahlen zu unterscheiden, da diese im Allgemeinen unterschiedliche Argumentationen erfordern.
Hans Jürgen Ohlbach, Norbert Eisinger
Chapter 11. Exkurs: Mathematisches Arbeiten
Zusammenfassung
Der gesamte Abschnitt 10.2 hat in der üblichen Weise nur Ergebnisse präsentiert. Dazu gehören der Beweis in Beispiel 92, aber auch die vor diesem Beispiel eingeführten Formeln für h OG(α) und H(α). Wie sind diese Ergebnisse eigentlich gefunden worden?
Hans Jürgen Ohlbach, Norbert Eisinger
Backmatter
Metadaten
Titel
Design Patterns für mathematische Beweise
verfasst von
Prof. Dr. Hans Jürgen Ohlbach
Dr. Norbert Eisinger
Copyright-Jahr
2017
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN
978-3-662-55652-8
Print ISBN
978-3-662-55651-1
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-55652-8