Die Gödel'schen Unvollständigkeitssätze

Eine geführte Reise durch Kurt Gödels historischen Beweis

verfasst von: Dirk W. Hoffmann

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Im Jahr 1931 erschien im Monatsheft für Mathematik und Physik ein Artikel mit dem geheimnisvoll klingenden Titel Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I. In dieser Arbeit hat Kurt Gödel zwei Unvollständigkeitssätze bewiesen, die unseren Blick auf die Mathematik von Grund auf verändert haben. Gödels Sätze manifestieren, dass zwischen dem Begriff der Wahrheit und dem Begriff der Beweisbarkeit eine Kluft besteht, die wir nicht überwinden können. Die Mathematik fügt sich in kein formales Korsett.

Seit ihrer Entdeckung sind die Unvollständigkeitssätze in aller Munde und eine Flut an Büchern widmet sich ihrem fulminanten Inhalt. Doch kaum ein Werk behandelt die Gödel‘sche Arbeit in ihrer ursprünglichen Form − und dies hat triftige Gründe: Seine komplexen, in akribischer Präzision beschriebenen Argumentationsketten, die vielen Definitionen und Sätze und die heute weitgehend überholte Notation machen Gödels historisches Meisterwerk zu einer schwer zu lesenden Arbeit.

In diesem Buch wird Gödels Beweis aus dem Jahr 1931 detailliert aufgearbeitet. Alle Einzelschritte werden erläutert und anhand zahlreicher Beispiele verständlich erklärt. Doch dieses Buch ist mehr als eine kommentierte Fassung der historischen Arbeit. Die Beweise der Unvollständigkeitssätze in vollem Umfang zu verstehen, bedingt, die Geschichte zu verstehen, und so versetzen zahlreiche Exkurse den Leser in die Zeit zu Beginn des zwanzigsten Jahrhunderts zurück. Es ist die Zeit, in der die Mathematik die größte Krise ihrer Geschichte durchlebte, die Typentheorie und die axiomatische Mengenlehre Gestalt annahmen und sich Hilberts formalistische Logik und Brouwers intuitionistische Mathematik mit offenem Visier gegenüber standen.

Die 2. Auflage ist vollständig durchgesehen.

Stimme zur ersten Auflage:

„...eine didaktisch sehr gut gemachte Darstellung.“
Prof. Dr. Matthias Homeister, FH Brandenburg

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Chapter 1. Einleitung

Zusammenfassung

Die rund 400 km lange Dampferfahrt entlang der Ostseeküste war für Rudolf Carnap, Herbert Feigl, Kurt Gödel und Friedrich Waismann die letzte Etappe ihrer Reise von Wien nach Königsberg. In Swinemünde stießen Kurt Grelling und Hans Hahn hinzu, und gemeinsam gingen die sechs am 4. September 1930 im Königsberger Hafen von Bord [14]. Ihr Ziel war die 2. Tagung für Erkenntnislehre der exakten Wissenschaften, die in der ostpreußischen Metropole vom 5. bis zum 7. September von der Berliner Gesellschaft für Empirische Philosophie abgehalten wurde.

Dirk W. Hoffmann

Chapter 2. Die formalen Grundlagen der Mathematik

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werfen wir einen Blick auf die Geschichte der mathematischen Logik und führen dabei mehrere Begriffe ein, die für das Verständnis der Gödel’schen Arbeit unabdingbar sind. Unsere Reise beginnt in Abschnitt 2.1 mit einem Ausflug in das späte neunzehnte Jahrhundert. Dort lernen wir Gottlob Frege kennen, der für die Entwicklung der modernen Logik Maßgebliches geleistet hat und der gleichzeitig zu den tragischen Figuren der Wissenschaftsgeschichte gehört.

Dirk W. Hoffmann

Chapter 3. Beweisskizze

Zusammenfassung

Nachdem wir uns in Kapitel 2 das notwendige Wissen angeeignet haben, um neben den formalen Details auch die philosophischen Aspekte der Unvollständigkeitssätze zu verstehen, ist es an der Zeit, zur Gödel’schen Arbeit zurückzukehren. In den wenigen, bisher zitierten Passagen hatte Gödel eine Bestandsaufnahme der Mathematik des frühen zwanzigsten Jahrhunderts vorgenommen und mit den Principia Mathematica sowie der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre zwei der damals vorherrschenden axiomatischen Systeme erwähnt. Waren diese Begriffe gegen Ende von Kapitel 1 noch inhaltsleere Hülsen, so erscheinen sie nach unserem historischen Exkurs in hellen Farben vor unserem geistigen Auge.

Dirk W. Hoffmann

Chapter 4. Das System P

Zusammenfassung

Der erste Teil der Gödel’schen Arbeit liegt hinter uns. Wir haben die Beweisskizze vollständig durchgearbeitet und wissen nun, auf welchem Weg Gödel den ersten Unvollständigkeitssatz beweisen wird. In diesem Kapitel wenden wir uns dem zweiten Teil der Arbeit zu, der sich mit der Präzisierung der skizzierten Beweisschritte beschäftigt.

Dirk W. Hoffmann

Chapter 5. Primitiv-rekursive Funktionen

Zusammenfassung

Im Anschluss an die Definition des formalen Systems P schaltet Gödel eine Zwischenbetrachtung ein, die sich über mehrere Seiten erstreckt. Sie hat eine Klasse zahlentheoretischer Funktionen zum Inhalt, die wir heute als primitivrekursive Funktionen bezeichnen.

Dirk W. Hoffmann

Chapter 6. Die Grenzen der Mathematik

Zusammenfassung

Bevor wir die Bühne zum großen Finale des Gödel’schen Beweises freigeben, wollen wir die bisher erarbeiteten Ergebnisse kurz rekapitulieren:

In Kapitel 4 haben wir das System P kennen gelernt und gezeigt, wie sich Formeln und Beweise arithmetisieren lassen. Indem wir jeder Formel und jeder Formelreihe eine Gödelnummer zugeordnet haben, konnten wir die Manipulation von Zeichenketten, und damit auch das Führen eines Beweises, arithmetisch deuten.
In Kapitel 5 haben wir den Begriff der primitiv-rekursiven Funktion eingeführt und anschließend auf Relationen ausgeweitet. Danach haben wir in akribischer Fleißarbeit 45 primitiv-rekursive Funktionen und Relationen erarbeitet. Am Ende stand die Erkenntnis, dass sich wichtige metamathematische Begriffe über formale Systeme primitiv-rekursiv formulieren lassen.
Am Ende von Kapitel 5 haben wir mit Gödels Satz V ein Bindeglied zwischen Formeln und primitiv-rekursiven Relationen geschaffen. Inhaltlich besagt dieser wichtige Satz, dass wir jede primitiv-rekursive Relation innerhalb von P syntaktisch repräsentieren können; d. h., wir können das Bestehen einer primitiv-rekursiven Relation für jede konkret vorgelegte Wertekombination innerhalb von P beweisen oder widerlegen.

Dirk W. Hoffmann

Chapter 7. Epilog

Zusammenfassung

In den Dreißigerjahren fielen die Reaktionen auf die Gödel’sche Arbeit sehr unterschiedlich aus. Von Hilbert ist überliefert, dass er die Unvollständigkeitssätze zunächst mit Zorn zur Kenntnis nahm [95]. Der Realität verschloss er sich jedoch nicht lange und arbeitete in den Folgejahren viele Beweisschritte, die Gödel nur skizzenhaft vorgetragen hatte, präzise aus.

Dirk W. Hoffmann

Backmatter

Titel: Die Gödel'schen Unvollständigkeitssätze
verfasst von: Dirk W. Hoffmann
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-662-54300-9
Print ISBN: 978-3-662-54299-6
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-54300-9