Einführung in die Dynamik

“Die Mechanik ist die Wissenschaft von der Bewegung; als ihre Aufgabe bezeichnen wir: Die in der Natur vor sich gehenden Bewegungen vollständig und auf die einfachste Weise zu beschreiben.” Dieser über hundert Jahre alte Satz KIRCHHOFFs [20] hat weder etwas von seiner Aussagekraft noch von seinem Anspruch verloren. Auch für die Technik muß Mechanik als Wissenschaft der Bewegung so einfach wie möglich, aber eben auch vollständig sein. Verstehen wir unter Bewegung jede Art von Verschiebung und Verdrehung, auch kleinsten Ausmaßes wie etwa bei elastischen Verformungen, und schließen den Begriff der Ruhe in diese Definition mit ein, so ist mit Bewegung die gesamte Mechanik erfaßt. Die Beschreibung der “Bewegung” beinhaltet dabei zwei Aspekte, denjenigen der geometrischen, der kinematischen Darstellung und denjenigen, der sich mit den Ursachen der Bewegung befaßt, also dem dynamischen Aspekt. Von allen Wechselwirkungen, die materielle Körper untereinander oder von und mit ihrer Umgebung erfahren können, interessieren in der Mechanik diejenigen, die solchen Körpern Beschleunigungen (oder Deformationen) erteilen. Derartige Wechselwirkungen nennen wir Kräfte. Die Lage und Orientierung von Körpern, ihre Kinematik also, und ihre Wechselwirkung mit Kräften, ihre Statik oder Kinetik, bilden die Mechanik.

Die Lehrveranstaltung der Hochschulen, die nationale und internationale Fachbuchliteratur beschäftigen sich in der Mechanik, wie im übrigen auch in allen anderen ingenieurwissenschaftlichen Grundlagenfächern, im wesentlichen mit Lösungsverfahren für bestimmte, aber bereits vorgegebene Modelle. So schwierig diese Aufgabe auch ist und so viel Raum ihr aus diesem Grunde gewidmet sein mag, so muß doch festgestellt werden, daß die Bildung von Modellen genau so problematisch sein kann wie ihre theoretische oder experimentelle Beschreibung und Erfassung. Von der Qualität der Modellbildung hängen im technischen Entwicklungsprozeß in einem meist unterschätzten Maße Entwicklungszeiten und damit -kosten ab, da gute Modelle nicht nur von sich aus schon zu schnelleren Lösungsprozessen, sondern auch zu größerer Transparenz führen und damit noch einmal die Bewältigung einer technischen Aufgabe beschleunigen. Ingenieurarbeit besteht aus Iterationsprozessen, bei denen jeder Schritt ein Stück näher an das zu lösende Problem heranführt. Die einzelnen Schritte werden umso größer sein, je mehr Einsichten in die Aufgabenstellung gewonnen und damit je mehr erfolgreiche Umsetzungen daraus gefolgert werden können.

Aussagen über das Bewegungsverhalten mechanischer Systeme sind ohne Modellannahmen nicht möglich. Im letzten Kapitel wurden einige Ingenieuraspekte bei der Modellbildung diskutiert. Bei der Betrachtung kontinuierlicher Systeme, in unserem vorliegenden Fall elastischer Systeme, müssen wir die Eigenschaften der betrachteten Körper angeben. Diskrete Systeme setzen sich aus starren Körpern zusammen, deren wesentliche Eigenschaft darin besteht, daß der Abstand zweier Punkte im Innern eines solchen Körpers zeitlich konstant bleibt. Wir hatten dabei weiterhin homogene, isotrope Massenverteilungen vorausgesetzt.

Die Bewegung eines diskreten oder diskretisierten mechanischen Systems wird stets von nichtlinearen gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Osrdnung des folgenden Typs beschrieben (Kapitel 1.2): Die Vektoren g und h enthalten dabei Ausdrücke, die höchstens von zweiter Ordnung in den Geschwindigkeiten \({\dot q}\) sind (zum Beispiel \(\dot q^T B\dot q\)). Trotz der relativ einfachen Struktur dieses Systems nichtlinearer Gleichungen kann man keine allgemeine Lösung angeben. Dies gelingt nur für den eindimensionalen Fall (ein Freiheitsgrad), für den der allgemeine Gleichungstyp von der RICCATIschen Form formal lösbar ist [23]. Für Systeme mit mehreren Freiheitsgraden und damit auch für kontinuumsmechanische Systeme ist man deshalb immer auf Näherungsverfahren und numerische Integrationen angewiesen.

Wie wir in den vorangegangenen Kapiteln gesehen haben, lassen sich rein periodische Schwingungen durch eine Periodizitätsbedingung mit der Periode T und damit mit der Frequenz oder der Kreisfrequenz charakterisieren. Diese Periode braucht nicht konstant, sondern kann amplitudenabhängig sein (Abschnitt 4). Im folgenden wollen wir uns mit Schwingungen mit einer oder mehreren konstanten Perioden beschäftigen und dem Problem der Schwingungsentstehung nachgehen. Um das Wesentliche zu erkennen, beschränken wir uns auf Schwinger mit einem Freiheitsgrad x(t).