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Über dieses Buch

Dieses essential gibt eine kompakte Einführung in die Ergodentheorie, die Dynamische Systeme mit Methoden der Maßtheorie untersucht. Lesende lernen wundervolle Resultate von herausragenden Mathematikern des 20. Jahrhunderts kennen. Eine Fülle von Beispielen Dynamischer Systeme mit invarianten und ergodischen Maßen werden beschrieben. Zusätzlich finden sich großartige Anwendungen der Ergodentheorie in der Zahlentheorie.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Einleitung

Zusammenfassung
Der renommierte Abel-Preis, der seit 2003 als Ergänzung zu den Nobelpreisen von der norwegischen Akademie der Wissenschaften an Mathematiker verliehen wird, ging 2020 an Hillel Fürstenberg und Grigori Margulis. Sie wurden für ihre Arbeiten in der Ergodentheorie und deren Anwendung in der Zahlentheorie ausgezeichnet. Vorher erhielten bereits Lennart Carlson (2006), Endre Szemerédi (2012) und Jakow Sinai (2014) den Abel-Preis, unter anderem für Ergebnisse in der Ergodentheorie. Der Leser wird in diesem Essential Sätze all dieser und manch anderer bedeutenden Mathematiker des 20sten Jahrhunderts kennen lernen.
Jörg Neunhäuserer

Kapitel 2. Grundbegriffe

Zusammenfassung
Die Ergodentheorie baut zwar auf der Maßtheorie auf, dessen ungeachtet spielen topologische Begriffe in manchen Sätzen und vielen Anwendungen eine Rolle. Wir wollen unsere Darstellung mit diesen Begriffen beginnen. Da Räume, deren Topologie nicht durch eine Metrik erzeugt werden, in der Ergodentheorie irrelevant sind, dürfen wir im folgenden getrost die Existenz einer Metrik, also des Abstands zweier Punkte, voraussetzen.
Jörg Neunhäuserer

Kapitel 3. Hauptsätze

Zusammenfassung
Der erste Satz dieses Buches beschäftigt sich mit der Existenz invarianter Maße und der Struktur der Menge dieser Maße.
Jörg Neunhäuserer

Kapitel 4. Beispiele

Zusammenfassung
Wir betrachten zunächst Rotationen des Kreisringes \(\mathbb {S}^{1}\subseteq \mathbb {R}^{2}\) und des n-Torus \(\mathbb {T}^{n}\subseteq \mathbb {R}^{2n}\). Zwecks einfacher Notation identifizieren wir [0, 1) mit \(\mathbb {S}^{1}\) mittels der Bijektion \(\kappa (x)=(\sin (2\pi x),\cos (2\pi x))\) und versehen [0, 1) mit der Kreismetrik \(d(x,y)=d_{\mathbb {S}^{1}}(\kappa (x),\kappa (y))/2\pi \). Genauso identifizieren wir den n-Torus mit \([0,1)^n\).
Jörg Neunhäuserer

Kapitel 5. Entropie

Zusammenfassung
Sei im Folgenden X ein metrischer Raum, \(T:X\rightarrow X\) Borel-messbar und \(\mu \in \mathcal {M}_{\text {INV}}(X,T)\) ein invariantes Wahrscheinlichkeitsmaß. Eine maßtheoretische Partition \({\mathfrak P}\) von X ist eine Überdeckung von X, deren Elemente sich nur in Mengen vom Maß Null schneiden. Die gemeinsame Verfeinerung von zwei Partitionen \({\mathfrak P}_{1}\) und \({\mathfrak P}_{2}\) ist die Partition
Jörg Neunhäuserer

Kapitel 6. Zahlentheoretische Anwendungen

Zusammenfassung
Wir stellen hier vier herausragende zahlentheoretische Ergebnisse vor, die sich mit ergodentheoretischen Mitteln beweisen lassen.
Jörg Neunhäuserer

Backmatter

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