Einführung in die Strukturdynamik

Die Dynamik ist die Lehre von den Kräften. In der Statik sind die Kräfte im Gleichgewicht. Kraft- und Verformungszustand sind zeitlich konstant.

Die Beschreibung und die Charakterisierung des Zeitverlaufs einer Bewegung erfolgt im Rahmen der Schwingungslehre. Die für die Beschreibung von Schwingungen wichtigen Begriffe und Symbole sind umfassend in DIN 1311 [59] angegeben. Nachfolgend sind die wesentlichen Grundlagen der Schwingungslehre dargestellt, die für die Strukturdynamik von Bedeutung sind.

Beim Entwurf und bei der Bemessung von realen physikalischen Systemen müssen die Einwirkungen und die Systemeigenschaften vorweg festgelegt und in ihrer Wirkung auf das Schwingungsverhalten des Systems untersucht werden. Die Ermittlung des Schwingungsverhaltens kann dabei experimentell oder rechnerisch erfolgen. In beiden Fällen sind Ersatzmodelle für die Wirklichkeit zu entwickeln.

Die mathematische Beschreibung der Schwingungseigenschaften von physikalischen Systemen erfolgt mit den am Ersatzmodell hergeleiteten Bewegungsgleichungen für die Beschreibungsvariablen des Systems. Das Aufstellen der Bewegungsgleichungen erfolgt hier zunächst für Starrkörpersysteme mit wenigen Freiheitsgraden und Komponenten mit konstanten in der Zeit unveränderlichen Eigenschaften. In Abschnitt 11 werden die wesentlichen Vorgehensweisen zum Aufstellen der Bewegungsgleichungen für Stabtragwerke eingesetzt.

In den folgenden Abschnitten wird gezeigt, wie man die Bewegungsgleichung für unterschiedliche Einwirkungen analytisch lösen kann. Im allgemeinen Fall gilt.

Systeme, die sich nur infolge der Anfangsbedingungen bewegen und keine zeitver änderlichen Einwirkungen besitzen, führen freie Schwingungen aus. Im Falle des Ein–Masse–Schwingers folgen die Schwingungen der Bewegungsgleichung.

Schwingungen, die durch Einwirkungen erzeugt werden, bezeichnet man als erzwungene Schwingungen oder fremderregte Schwingungen. Gegeben ist die Bewegungsgleichung.

Gegeben ist die Bewegungsgleichung mit beliebiger unperiodischer Anregung p(t).

Das Aufstellen der Bewegungsgleichungen für Mehrfreiheitsgradsysteme kann zunächst in Analogie zu Abschnitt 4 erfolgen. Dies bedeutet, dass die dort erläuterten Verfahren sinngemäß auf alle Massen und Bewegungsmöglichkeiten des zu untersuchenden Systems anzuwenden sind. Da die so ermittelten Bewegungsgleichungen bei vielen Freiheitsgraden sehr unübersichtlich sind, werden sie in eine Matrizenschreibweise überführt.

Das bisherige Vorgehen führt in einem ersten Schritt immer auf skalare Größen und Gleichungen. Erst danach erfolgt die Anpassung an die Matrizenschreibweise. Setzt man einmal voraus, dass die Bewegungsgleichungen die Form.

Abschnitt 10 behandelt das Aufstellen von Bewegungsgleichungen für Starrkörpersysteme mit endlich vielen Freiheitsgraden für die Beschreibung der Bewegung der beteiligten diskreten Punktmassen. Kontinuierliche Systeme bestehen aus unendlich vielen differentiell kleinen Massen, sodass das Aufstellen der Bewegungsgleichungen am differentiellen Element erfolgen muss. Wenn alle differentiellen Massen den gleichen kinematischen und dynamischen Bedingungen gehorchen, reicht es aus, ein repräsentatives Element zu betrachten.

Die Bewegungsgleichungen für Starrkörpersysteme und für diskretisierte kontinuierliche Systeme sind in der Matrizenschreibweise identisch. Für ungedämpfte Systeme folgt.

Die Beschreibung des Schwingungsverhaltens von Mehr–Massen–Schwingern oder Kontinua mit Hilfe der Eigenvektoren (natural modes) und der Eigenfrequenzen bezeichnet man als Modal–Analyse. Eine anschauliche Deutung dieses Vorgehens ist möglich, wenn man die Bewegungsgleichung in der Form des Prinzips der virtuellen Arbeiten verwendet.

Gegeben sind die Bewegungsgleichungen in der Form.

Mit Hilfe von komplexen Zahlen können Schwingungen mathematisch einfacher als in der reellen Darstellung beschrieben werden.

Alle in der Realität ablaufenden Prozesse sind von Energieverlusten begleitet. Die Ursachen für Energieverluste sind vielfältig und bewirken eine Dämpfung der Bewegung von Tragwerken, wenn die zur Verfügung stehende Bewegungsenergie verringert wird.

Gegeben ist die homogene Bewegungsgleichung.

Überf¨uhrt man die Bewegungsgleichung in eine Schreibweise mit komplexen Zahlen, so ist die Lösung effizienter als in der reellen Schreibweise. Gegeben ist die Bewegungsgleichung.

Bei zeitkonstanter Anregung ist die Strukturantwort der Systeme der Baudynamik in Analogie zur Baustatik zu analysieren, da bei konstanten Einwirkungen alle Geschwindigkeiten und Beschleunigungen des Systems verschwinden. Es gilt zunächst.

Die Modal–Analyse hat zum Ziel, die Bewegungsgleichungen zu entkoppeln. Dies ist nur möglich, wenn die Matrizen M, D und K mit Hilfe der Eigenvektoren gleichzeitig auf Diagonalform gebracht werden können, was im allgemeinen Fall jedoch nur bei zwei Matrizen möglich ist.

Die Anwendung der Modal–Analyse beschränkt sich bisher auf ungedämpfte und gedämpfte Systeme, bei denen die Eigenvektoren des ungedämpften Systems für die Entkopplung der Bewegungsgleichungen angesetzt werden können. Im folgenden wird der Fall der viskosen Dämpfung untersucht, wenn die Entkopplung der Dämpfungsmatrix mit den Eigenvektoren des ungedämpften Systems nicht möglich ist. Nach Umschreiben der Bewegungsgleichungen.

Die Lösung der Bewegungsgleichungen ist mit einem erheblichen numerischen Aufwand verbunden, wenn eine große Zahl von Freiheitsgraden vorliegt. Eine Verringerung des Aufwandes ist möglich, wenn die Gesamtlösung nur mit einer begrenzten Anzahl von Bewegungsformen angenähert wird, wobei die Reduktion mit einem Verlust an Genauigkeit verbunden ist. Die Elimination von Freiheitsgraden ohne Genauigkeitsverlust ist im Sonderfall möglich, wenn ein Teil der Freiheitsgrade in den Gleichungen durch die übrigbleibenden Freiheitsgrade beschrieben werden können.

Die Modal–Analyse ist ein vereinfachendes Verfahren zur Berechnung und Untersuchung der Systemantwort auf gegebene Einwirkungen. Grundgedanke ist, die Antwort des Gesamtsystems aus den Eigenvektoren additiv zusammenzufügen.

Erdbeben sind in vielen Teilen der Welt der entscheidende Bemessungslastfall für Bauwerke. Als Erdbeben werden im Bauwesen Schwingungen des Baugrundes bezeichnet. Die Ursachen von Erdbeben sind vielfältig.

Moderne Stadionüberdachungen, Hallendächer, aufgehängte Fassaden, Abspannungen von Masten und andere Bauteile verwenden Seile und Membranen als tragende Elemente. Im Unterschied zu den bisher untersuchten Tragwerken können Seile und Membranen nur Zugspannungen aufnehmen und sind daher nur tragfähig, wenn sich unter Last und bei der Bewegung ein Zugspannungszustand einstellt. Dies erreicht man in der Regel durch einen geeigneten Vorspannungszustand, der als statischer Grundzustand gedeutet werden kann und alle Druckspannungen aus Last und Bewegung kompensiert.

Die Aeroelastizität beschreibt die Phänomene, die bei der Luftumströmung von schlanken elastischen Tragwerken auftreten. Dies betrifft unter anderem.

Die Verkehrsbelastung von Brücken wird in den Bemessungsnachweisen als quasi–statisch angesetzt, wenn das Schwingungsverhalten vernachlässigbar ist. Dies bedeutet, dass zwar räumlich unterschiedliche Laststellungen von Straßen– und Schienenfahrzeugen angesetzt werden, jedoch der Einfluß aus der Bewegung der Fahrzeuge vernachlässigt wird. Mithilfe von genaueren Modellen kann jedoch auch der Einfluß aus der Bewegung der Fahrzeuge berücksichtigt werden, was insbesondere bei Hochgeschwindigkeitszügen erforderlich ist.

Zusätzlich zu den planmäßigen zeitkonstanten Einwirkungen aus der Nutzung eines Bauwerks sowie aus Wind und Erdbeben werden Bauwerke auch durch Menschen zum Schwingen angeregt. In der Vergangenheit haben von Menschen induzierte Schwingungen verschiedener Fußgängerbrücken besondere Aufmerksamkeit erhalten, da einzelne Brücken für den Verkehr gesperrt werden mussten und erhebliche Sanierungsarbeiten erforderlich waren. Bekannte Beispiele hierfür sind die Millennium Bridge in London, siehe Dallard et al. [15], sowie die Passarelle Solferino in Paris.

Rotorblätter von Windkraftanlagen, Hubschrauberrotoren oder Propeller sind stabähnliche in sich verwundene Tragwerke, die sich um eine Achse drehen, siehe Bild 29-1. Die Achse kann raumfest oder auch beweglich sein, sodass sich hier die Drehbewegung des Rotorblattes mit einer Fußpunktbewegung überlagern kann. Infolge der Rotation entstehen im Rotorblatt Fliehkräfte, die von der Drehgeschwindigkeit abhängen und zum Versteifen des Rotorblattes führen.

In den bisherigen Abschnitten wird die Bewegungsgleichung analytisch gelöst. Dies ist möglich, wenn die Bewegungsgleichung linear ist und eine Superposition von Teillösungen zulässig ist.

Die Berechnung der Eigenwerte λi und der zugehörigen Eigenvektoren x̂i von Matrizenpaaren ist im allgemeinen Fall nicht direkt möglich, da die Nullstellen von Polynomen höherer Ordnung berechnet werden müssen. Für die iterative Berechnung der λi sind in der Literatur eine Reihe von Verfahren beschrieben. Ein zusammenfassendes Standardwerk zum Matrizen–Kalkül ist von Zurmühl und Falk veröffentlicht.