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2023 | Buch

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Einführung in die Theoretische Physik

Klassische Mechanik mit mathematischen Methoden

verfasst von: Robin Santra

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Dieses Lehrbuch bietet Studierenden der ersten Semester eine Einführung in die Theoretische Physik sowie die dazu erforderlichen mathematischen Werkzeuge. Parallel zu den Inhalten der Klassischen Mechanik lernen Sie die nötige Mathematik gleich mit – und auch die Denkweise in der Theoretischen Physik kennen.

Unter sorgfältiger Berücksichtigung des Wissensstands von Studienanfängern wird eine ausführliche, schrittweise Darstellung von allen Herleitungen und Beispielen geboten. Dabei werden Ihnen nicht nur die analytischen Lösungsverfahren gezeigt, sondern Sie erhalten auch einen Einblick in die große Bedeutung von computergestützten, numerischen Verfahren.

Das Buch beginnt mit den Leitbegriffen des Zustands und der Bewegungsgleichung, worauf aufbauend die Struktur der Newton‘schen Mechanik in leicht nachvollziehbarer Art und Weise vermittelt wird. Als dazugehörige mathematische Themen werden komplexe Zahlen, Vektoren und Matrizen, Taylor-Reihen, gewöhnliche Differenzialgleichungen, Fourier-Reihen, partielle Ableitungen und Elemente der Vektoranalysis behandelt. Ebenso finden Sie in diesem Buch eine Untersuchung elementarer Erhaltungssätze als auch deren Anwendung auf physikalische Fragestellungen wie z.B. die Begründung der Kepler‘schen Gesetze.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Grundkonzepte

Zusammenfassung

Dieses Lehrbuch führt Sie in die Theoretische Physik anhand der Klassischen Mechanik ein. In diesem einleitenden Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Begriff Theoretische Physik, und Sie lernen die Grundziele und Grundannahmen der Klassischen Mechanik kennen. Anhand eines abstrakten, aber einfachen Modells erarbeiten wir uns, welche prinzipiellen mathematischen Strukturen aus den Grundzielen und Grundannahmen der Klassischen Mechanik folgen. In diesem Zusammenhang nutzen wir insbesondere den Begriff des Zustands eines physikalischen Systems und untersuchen dynamische Gesetze, die die zeitliche Entwicklung des Zustands beschreiben.

Robin Santra

Kapitel 2. Beschreibung der Bewegung von Massenpunkten

Zusammenfassung

Wir wollen uns nun dem Begriff des Zustands für ein zentrales Modellsystem der Klassischen Mechanik nähern: dem Punktteilchen. Das Konzept eines Punktteilchens ist eine für die Theoretische Physik nützliche Idealisierung. In vielen Situationen kann man die räumliche Ausdehnung von Objekten ignorieren und sie als Punkte behandeln. Beispielsweise kann man die Bewegung der Erde um die Sonne mit guter Genauigkeit berechnen, wenn man die Ausdehnung der Erde bzw. der Sonne (die beide offenbar nicht nur Punkte sind) vernachlässigt. Um die Bewegung eines Punktteilchens mathematisch zu beschreiben, ziehen wir Vektoren in drei Raumdimensionen heran.

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Kapitel 3. Dynamische Gesetze für einen Massenpunkt

Zusammenfassung

Nachdem wir uns in Kap. 2 das mathematische Werkzeug angeeignet haben, um die Bewegung von Punktteilchen beschreiben zu können, kommen wir nun zu dynamischen Gesetzen, die die zeitliche Entwicklung des Zustands eines Punktteilchens bestimmen. Dabei legt das jeweils betrachtete dynamische Gesetz fest, mit welchen mathematischen Objekten gearbeitet werden muss, um den Zustandsbegriff zu präzisieren. Wir werden dies sowohl anhand der sogenannten Aristoteles’schen Bewegungsgleichung als auch anhand der Newton’schen Bewegungsgleichung illustrieren. Dabei werden wir uns auch mit den Prinzipien des Determinismus und der Reversibilität beschäftigen. Zuerst benötigen wir aber noch etwas weiteres mathematisches Rüstzeug.

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Kapitel 4. Gewöhnliche Differenzialgleichungen

Zusammenfassung

Eine Gleichung, in der Ableitungen der zu bestimmenden Funktion auftreten, heißt Differenzialgleichung. Liegt bei der Gleichung nur eine unabhängige Variable vor (z. B. die Zeit t), dann handelt es sich um eine gewöhnliche Differenzialgleichung. Auf diese wollen wir uns hier konzentrieren, da die dynamischen Gesetze für Punktteilchen von diesem Typ sind. In der Praxis hat man es oft mit einem System von gewöhnlichen Differenzialgleichungen zu tun, bei dem man also mehrere gewöhnliche Differenzialgleichungen simultan lösen muss (z. B. \(F_x = m \ddot{x}\), \(F_y = m \ddot{y}\), \(F_z = m \ddot{z}\)). Der Einfachheit halber konzentrieren wir uns in diesem Kapitel aber auf einzelne gewöhnliche Differenzialgleichungen. Die zentrale physikalische Anwendung der analytischen Methoden, die Sie im Folgenden kennenlernen werden, ist der harmonische Oszillator. Bei der Analyse des harmonischen Oszillators werden Sie einem wichtigen Grundphänomen der Physik begegnen – der Resonanz.

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Kapitel 5. Fourier-Reihen

Zusammenfassung

In Kap. 4 haben Sie das Antwortverhalten des gedämpften harmonischen Oszillators bei einer rein harmonischen periodischen äußeren Kraft kennengelernt. Im Hinblick auf das Superpositionsprinzip (Abschn. 4.10) bedeutet dies, dass wir nun auch das Antwortverhalten des gedämpften harmonischen Oszillators berechnen können, wenn die äußere Kraft eine Summe von trigonometrischen Funktionen der Zeit ist: Die partikuläre Lösung der Bewegungsgleichung für diese äußere Kraft ist die Summe der partikulären Lösungen für die einzelnen trigonometrischen Funktionen. In diesem Kapitel werden Sie lernen, dass sich allgemeine periodische Funktionen als eine im Allgemeinen unendliche Summe von trigonometrischen Funktionen darstellen lassen. Man nennt die Reihenentwicklung einer periodischen Funktion nach trigonometrischen Funktionen eine Fourier-Reihe. Fourier-Reihen sind in den Natur- und Ingenieurwissenschaften von enormer praktischer Bedeutung. In diesem Kapitel dienen Fourier-Reihen konkret dazu, das Antwortverhalten des gedämpften harmonischen Oszillators bei einer allgemeinen zeitlich periodischen äußeren Kraft analytisch zu bestimmen.

Robin Santra

Kapitel 6. Nichtlineare Dynamik

Zusammenfassung

In Kap. 1 hatten wir herausgearbeitet, dass eine Grundeigenschaft der Klassischen Physik der Determinismus ist: Die Grundgleichungen der Klassischen Physik erlauben es einem, unter vollständiger Angabe der Anfangsbedingungen, das Verhalten eines Systems zu allen Zeiten vorherzusagen. Im Laufe der vergangenen 100 Jahre hat sich herauskristallisiert, dass diese Sichtweise zwar im Prinzip (im Rahmen der Klassischen Physik) korrekt ist, Determinismus im Allgemeinen aber nicht unbedingt Regularität und tatsächliche Vorhersagbarkeit der Zukunft impliziert.

Robin Santra

Kapitel 7. Systeme mit mehr als einem Teilchen

Zusammenfassung

Bisher haben wir die Newton’sche Bewegungsgleichung nur für Situationen betrachtet, bei denen auf ein einzelnes Teilchen eine Kraft wirkte und wir die resultierende Bewegung des Teilchens bestimmten. Mit diesem Kapitel beginnend erweitern wir unsere Untersuchungen auf Systeme, bei denen wir explizit mehr als ein Teilchen berücksichtigen. Dabei wird es sich als sinnvoll erweisen, zur Charakterisierung des Zustands des Systems nicht die Geschwindigkeitsvektoren, sondern die sogenannten Impulsvektoren der Teilchen heranzuziehen (zusätzlich zu den Ortsvektoren). Auf diese Weise wird es uns gelingen, einen ersten Erhaltungssatz zu beweisen: den sogenannten Impulserhaltungssatz. Der Impulserhaltungssatz wird es uns erlauben, die Bewegung des Schwerpunkts eines Mehrteilchensystems in geschlossener Form vorherzusagen.

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Kapitel 8. Partielle Ableitungen

Zusammenfassung

Außer dem Impulserhaltungssatz (Kap. 7) werden wir uns noch mit dem Energieerhaltungssatz (Kap. 9) und dem Drehimpulserhaltungssatz (Kap. 10 und Kap. 11) für abgeschlossene N-Teilchensysteme auseinandersetzen. Zur Vorbereitung auf den Energieerhaltungssatz beschäftigen wir uns in diesem Kapitel mit dem Thema der partiellen Ableitungen, durch die der Begriff der Ableitung für Funktionen mit mehreren Variablen verallgemeinert wird. Die Kenntnisse, die Sie sich dabei aneignen werden, sind nicht nur für die Klassische Mechanik von großer Bedeutung, sondern spielen auch in der Elektrodynamik, in der Thermodynamik (= Wärmelehre) und in der Quantenmechanik eine wichtige Rolle.

Robin Santra

Kapitel 9. Energie

Zusammenfassung

In diesem Kapitel postulieren wir für abgeschlossene N-Teilchensysteme die Existenz eines sogenannten Potenzials. Auf dieser Grundlage werden wir den Energieerhaltungssatz beweisen. Wir werden uns die Frage stellen, ob der Energieerhaltungssatz auch gilt, wenn sich ein Teilchen unter der Wirkung von einer äußeren Kraft bewegt. In diesem Zusammenhang werden Sie den sogenannten Nabla-Operator kennenlernen, der auch in der Elektrodynamik und in der Quantenmechanik immer wieder in Erscheinung tritt. Über den mathematischen Begriff des Wegintegrals definieren wir den physikalischen Begriff der Arbeit und untersuchen die Eigenschaften von sogenannten konservativen Kräften.

Robin Santra

Kapitel 10. Zweiteilchenproblem mit Gravitationskraft

Zusammenfassung

Das Problem eines abgeschlossenen Zweiteilchensystems, in dem die beiden Teilchen miteinander über die Gravitation wechselwirken, lässt sich analytisch lösen. Es handelt sich hierbei um ein grundlegendes Modell für die Bewegung eines Planeten um einen Stern, z. B. die Sonne. Wie Ihnen aus der Experimentalphysik vertraut ist, wird diese Bewegung empirisch durch die Kepler’schen Gesetze beschrieben. In diesem Kapitel lernen Sie, wie sich die Kepler’schen Gesetze mithilfe der Newton’schen Gesetze und des Newton’schen Gravitationsgesetzes herleiten lassen.

Robin Santra

Kapitel 11. Drehbewegungen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel untersuchen wir systematisch den Drehimpulsbegriff für abgeschlossene N-Teilchensysteme. Auf dieser Grundlage entwickeln wir die Theorie der Drehbewegungen von sogenannten starren Körpern. Bei starren Körpern wird es uns gelingen, das N-Teilchenproblem im 6N-dimensionalen Phasenraum auf die Bestimmung der zeitlichen Entwicklung einer Matrix mit lediglich neun Komponenten zu reduzieren. Die Theorie der Drehbewegungen stellt insofern ein natürliches Umfeld dar, um einen ersten Einblick in die Verwendung von Matrizen in der Theoretischen Physik zu gewinnen. Eine zentrale Größe, die bei der Beschreibung der Drehbewegung eines starren Körpers auftritt, ist der sogenannte Trägheitstensor. Wir werden dessen Verhalten unter Drehungen untersuchen. Dabei werden Sie lernen, dass ein wichtiger mathematischer Sachverhalt (die Diagonalisierbarkeit reeller, symmetrischer Matrizen) die theoretische Beschreibung von Drehbewegungen erleichtert. Insbesondere gelingt uns auf diese Weise eine natürliche Klassifizierung unterschiedlicher Typen von sich drehenden Körpern.

Robin Santra

Kapitel 12. Spezielle Relativitätstheorie

Zusammenfassung

Wie Sie in diesem abschließenden Kapitel lernen werden, erzwingt die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit, das Konzept einer universellen Zeit, so wie wir es in diesem Lehrbuch bisher verwendet haben, aufzugeben. Gemäß der Speziellen Relativitätstheorie sind zwei Ereignisse, die in einem Inertialsystem gleichzeitig stattfinden, in einem anderen Inertialsystem, das sich relativ zum ersten Inertialsystem gleichförmig und geradlinig bewegt, im Allgemeinen nicht gleichzeitig. Die Zeit wird auf diese Weise eine vom Inertialsystem abhängige Koordinate, die beim Wechsel von einem Inertialsystem zu einem anderen Inertialsystem transformiert werden muss. Die Transformation der Zeitkoordinate ist dabei eng mit der Transformation der räumlichen Koordinaten verwoben. Die Verknüpfung von Raum und Zeit hat weitreichende Konsequenzen, die insbesondere dann zu überraschenden Effekten führen, wenn Relativgeschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit eine Rolle spielen.

Robin Santra

Backmatter

Titel: Einführung in die Theoretische Physik
verfasst von: Robin Santra
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-662-67439-0
Print ISBN: 978-3-662-67438-3
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-67439-0