Einführung in die Zahlentheorie

Die ersten zwei Paragraphen dieses einführenden Kapitels entwickeln die Teilbarkeitstheorie im speziellen Integritätsring der ganzen Zahlen in einem Umfang, der bereits interessante Teile der „elementaren“ Zahlentheorie zu begründen gestattet. Diese beiden Anfangsparagraphen beschäftigen sich mit dem multiplikativen Aufbau der ganzen Zahlen aus Primzahlen und gipfeln in zwei Beweisen für den Fundamentalsatz der Arithmetik.

Wie sich in Kap. 1 gezeigt hat, ist der Teilbarkeitsbegriff für die Zahlentheorie fundamental. Die dort begonnenen Untersuchungen über Teilbarkeit ganzer Zahlen werden jetzt fortgesetzt, allerdings aus einem anderen Blickwinkel und unter Verwendung des neuen Begriffs der Kongruenz.

In diesem Kapitel werden, wie schon im Vorwort zum letzten in Aussicht gestellt, die Untersuchungen über Kongruenzen fortgeführt. Wie erinnerlich wurde in § 4 von Kap. 2 eine Methode vorgestellt, die die Gewinnung sämtlicher Wurzeln eines ganzzahligen Polynoms in einer Unbestimmten nach einem natürlichen Modul m auf die Ermittlung aller Wurzeln des Polynoms modulo aller in m aufgehenden Primzahlen reduziert.

Während bisher in diesem Buch die Untersuchung ganzer Zahlen weitgehend im Vordergrund stand, verlagert sich nun der Schwerpunkt der Thematik hin zu den reellen Zahlen. Insbesondere wird dabei die g-adische Entwicklung reeller Zahlen als Verallgemeinerung der geläufigen Dezimalbruchentwicklung behandelt ebenso wie die regelmäßige Kettenbruchentwicklung. Beide Darstellungen haben sich historisch bei dem Bemühen herausgebildet, reelle Irrational-zahlen möglichst gut durch rationale Zahlen anzunähern. Zusätzlich erfüllen dabei die Kettenbrüche die Forderung guter Approximation selbst bei Verwendung relativ kleiner, geeignet gewählter Nenner; dagegen sind die g-adischen Brüche vor allem für das praktische Rechnen von Vorteil, während bei ihnen das Verhältnis von erzielter Approximationsgüte zur Größe der verwendeten Nenner viel ungünstiger ausfällt.

Hier werden die in Kap. 5 begonnenen arithmetischen Untersuchungen vertieft, indem nicht mehr nur nach Irrationalität, sondern viel weitergehend nach Transzendenz reeller (und nun auch komplexer) Zahlen gefragt wird.