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Erschienen in:
2014 | OriginalPaper | Buchkapitel
3. Elastizitätstheorie
verfasst von : Justus Lackmann, Prof. Dr.-Ing., Joachim Villwock, Prof. Dr.-Ing.
Erschienen in: Dubbel
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
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Auszug
Aufgabe der Elastizitätstheorie ist es, den Spannungs- und Verformungszustand eines Körpers unter Beachtung der gegebenen Randbedingungen zu berechnen, d. h. die Größen \(\sigma_{x}\), \(\sigma_{y}\), \(\sigma_{z}\), \(\tau_{xy}\), \(\tau_{xz}\), \(\tau_{yz}\), \(\varepsilon_{x}\), \(\varepsilon_{y}\), \(\varepsilon_{z}\), \(\gamma_{xy}\), \(\gamma_{xz}\), \(\gamma_{yz}\), \(u\), \(\upsilon\), \(w\) zu ermitteln. Für diese 15 Unbekannten stehen zunächst die Gleichungen C 1 Gl. (12) und C 1 Gl. (13) zur Verfügung. Hinzu kommen drei Gleichgewichtsbedingungen ( Bild 1 ) mit den Volumenkraftdichten X, Y, Z.
$$\left.\begin{aligned} {\frac{\partial\sigma_{x}}{\partial x}} + {\frac{\partial\tau_{yx}}{\partial y}} + {\frac{\tau_{zx}}{\partial z}}+X &= 0\:,\\ {\frac{\partial\tau_{xy}}{\partial x}} + {\frac{\partial\sigma_{y}}{\partial y}} + {\frac{\partial\tau_{zy}}{\partial z}}+Y &= 0\:,\\ {\frac{\partial\tau_{xz}}{\partial x}} + {\frac{\partial\tau_{yz}}{\partial\upsilon}} + {\frac{\partial\sigma_{z}}{\partial z}}+Z &= 0\:,\end{aligned}{\hspace*{4pt}}\right\}$$
(1)
$$\left.\begin{aligned}\varepsilon_{x} &= \frac{\sigma_{x} - \upsilon(\sigma_{y} + \sigma_{z} )}{E}\:,\\ \varepsilon_{y} &= \frac{\sigma_{y} - \upsilon(\sigma_{x} + \sigma_{z} )}{E}\:,\\ \varepsilon_{z} &= \frac{\sigma_{z} - \upsilon(\sigma_{x} + \sigma_{y} )}{E}\:,\\ \gamma_{xy} &= \frac{\tau_{xy}}{G}\:,\quad\gamma_{xz} = \frac{\tau_{xz}}{G}\:,\quad\gamma_{yz} = \frac{\tau_{yz}}{G}\:. \end{aligned}{\hspace*{4pt}}\right\}$$
(2)
$$\left.\begin{aligned}\sigma_x&=\frac{E}{1+\nu}\left(\varepsilon_x+\frac{\nu}{1-2\nu}\left(\varepsilon_x+\varepsilon_y+\varepsilon_z\right)\right),\\ \sigma_y&=\frac{E}{1+\nu}\left(\varepsilon_y+\frac{\nu}{1-2\nu}\left(\varepsilon_x+\varepsilon_y+\varepsilon_z\right)\right)\:,\\ \sigma_z&=\frac{E}{1+\nu}\left(\varepsilon_z+\frac{\nu}{1-2\nu}\left(\varepsilon_x+\varepsilon_y+\varepsilon_z\right)\right)\:,\\ \tau_{xy}&=G\gamma_{xy}, \quad \tau_{xz}=G\gamma_{xz},\quad \tau_{yz}=G\gamma_{yz}\:. \end{aligned}{\hspace*{4pt}}\right\}$$
(2a)
Bild 1
Gleichgewicht am Element
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