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2010 | Buch

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Elementare Analysis

Von der Anschauung zur Theorie

verfasst von: Dipl. Math. Andreas Büchter, Prof. Dr. Hans-Wolfgang Henn

Verlag: Spektrum Akademischer Verlag

Buchreihe : Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

In diesem Lehrbuch finden Sie einen Zugang zur Differenzial- und Integralrechnung, der ausgehend von inhaltlich-anschaulichen Überlegungen die zugehörige Theorie entwickelt. Dabei entsteht die Theorie als Präzisierung und als Überwindung der Grenzen des Anschaulichen.

Das Buch richtet sich an

Studierende des Lehramts Mathematik für die Sekundarstufe I, die „Elementare Analysis" als „höheren Standpunkt" für die Funktionenlehre benötigen, Studierende für das gymnasiale Lehramt oder in Bachelor-Studiengängen, die einen sinnstiftenden Zugang zur Analysis suchen, und an Mathematiklehrkräfte der Sekundarstufe II, die ihren Analysis-Lehrgang stärker inhaltlich als kalkülorientiert gestalten möchten.

Die Entwicklung der Theorie wird ergänzt durch

grundlegende Betrachtungen funktionaler Zusammenhänge, mathematischen Grundlagen der Analysis sowie relevante Anwendungen in Theorie und Praxis.

Zahlreiche Abbildungen sowie integrierte Lernaufgaben mit Lösungen im Internet runden die Darstellung ab.

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Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Einleitung

Zusammenfassung

Wer in Bibliotheken, Buchhandlungen oder Literaturdatenbanken nach Lehrbüchern zur Analysis, insbesondere nach „Einführungen“ schaut, trifft auf ein kaum überschaubares Angebot, dem man zunächst eine gewisse „Vollständigkeit“ unterstellen könnte. Warum haben wir Autoren uns also die Mühe gemacht und ein weiteres Werk hinzugefügt? Was ist das Originelle an unserem Buch? Unsere Motivation, eine „Elementare Analysis“ zu verfassen, lässt sich schön mit dem folgenden – schon über 80 Jahre alten – Zitat von Otto Toeplitz beschreiben: „Ich sagte mir: alle diese Gegenstände der Infinitesimalrechnung, die heute als kanonisierte Requisiten gelehrt werden … müssen doch einmal Objekte eines spannenden Suchens, einer aufregenden Handlung gewesen sein, nämlich damals, als sie geschaffen wurden. Wenn man an diese Wurzeln zurückginge, würde der Staub der Zeiten, die Schrammen langer Abnutzung von ihnen abfallen, und sie würden wieder als lebensvolle Wesen vor uns stehen.“ (Toeplitz (1927))

Andreas Büchter, Hans-Wolfgang Henn

2. Funktionale Zusammenhänge und Funktionen

Zusammenfassung

Funktionen von ℝ nach ℝ sind die konkreten Gegenstände der eindimensionalen Analysis. Dabei sind Funktionen selbst universelle mathematische Modelle, die rein innermathematisch betrachtet und analysiert werden können, die aber auch ganz unterschiedliche Phänomene der uns umgebenden Welt beschreiben können. Solche Phänomene können zunächst als funktionale Zusammenhänge zwischen zwei Größen (oder Merkmalen) betrachtet werden, bevor man sich Funktionen zu ihrer mathematischen Beschreibung bedient.

Andreas Büchter, Hans-Wolfgang Henn

3. Ein anschaulicher Zugang zur Differenzial- und Integralrechnung

Zusammenfassung

Funktionen von ℝ nach ℝ sollen, vor allem wenn sie als Modelle für außermathematische Situationen dienen, die Zuordnung zwischen zwei Größen beschreiben, wobei insbesondere das Änderungsverhalten relevant ist. Besonders häufig werden dabei Situationen mithilfe von Funktionen untersucht, in denen eine Größe von der Zeit abhängt:

die Geschwindigkeit eines (beschleunigenden) Fahrzeugs,
der Bestand an radioaktiven Atomen,
der Schuldenstand einer Nation,
die Höhe einer Rotorspitze eines Windrads über dem Boden.

Andreas Büchter, Hans-Wolfgang Henn

4. Mathematische Grundlagen der Analysis

Zusammenfassung

Das Ziel dieses Buchs ist die Entwicklung einer nützlichen und in der Anschauung verankerten, aber nicht mehr an die Anschauung gebundenen Theorie der Differenzial- und Integralrechnung (einer reellen Veränderlichen). Damit wir vom anschaulichen Zugang in Kapitel 3 aus dorthin gelangen können, benötigen wir noch mathematische Grundlagen, die in diesem Kapitel bereitgestellt werden.

Andreas Büchter, Hans-Wolfgang Henn

5. Grenzwerte von Differenzenquotienten: die Ableitung

Zusammenfassung

In Teilkapitel 3.1 haben wir ausgehend von absoluten Änderungen einer Funktion f in einem Intervall [a; b] die mittlere Änderungsrate in diesem Intervall betrachtet. Am Funktionsgraphen kann die mittlere Änderungsrate geometrisch-anschaulich als Steigung einer Geraden durch die Punkte (a|f(a)) und (b|f(b)) gedeutet werden. Rückt die eine Intervallgrenze näher an die andere, etwa b an a, so bekommt man – zumindest bei „übersichtlichen“ Funktionen – eine genauere Information über das Änderungsverhalten von f bei a. Der anschaulich nahe liegende Übergang von der Sekante zur Tangente, bei dem der zweite die Sekante definierende Punkt beliebig nahe an den ersten heranrückt, führt dann zur anschaulichen Definition der lokalen Änderungsrate oder der Ableitung an der Stelle a. Auf eine geometrische Definition von Tangenten können wir bisher allerdings nur für Tangenten an Kreise (aus der Mittelstufengeometrie) zurückgreifen. Im Falle eines Funktionsgraphen ist der Begriff noch vage.

Andreas Büchter, Hans-Wolfgang Henn

6. Grenzwerte von Riemann’schen Summen: das Integral

Zusammenfassung

In diesem Kapitel wollen wir nach der Differenzial- auch die Integralrechnung auf eine mathematisch präzisere Grundlage stellen, sodass wir im nächsten Kapitel – gewissermaßen als Höhepunkt unserer Theorieentwicklung – den Hauptsatz, der Differenzial- und Integralrechnung miteinander verbindet (vgl. 3.3), ebenso präzise formulieren und beweisen können.

Andreas Büchter, Hans-Wolfgang Henn

7. Zusammenhang von Differenzial- und Integralrechnung

Zusammenfassung

In Kapitel 3 ist anschaulich klar geworden, dass Differenzieren und Integrieren in geeigneter Sicht Umkehroperationen sind. Diese Sicht werden wir in diesem Kapitel mit der Formulierung der beiden Teile des Hauptsatzes (der Differenzial- und Integralrechnung) präzisieren (7.2). Das Wort „Hauptsatz“ verdeutlicht die Bedeutung dieses Satzes, der zwei Jahrtausende alte mathematische Problemkreise – das Problem, Tangenten an Kurven zu legen, und das Problem, Flächeninhalte zu bestimmen, – zusammenführt. Im Anschluss an die Formulierung und den Beweis des Hauptsatzes werden wir in 7.3 noch eine weitere wesentliche Grundvorstellung von Integralen präsentieren: Neben der Rekonstruktion des Bestands aus Änderungsraten und der Flächenberechnung kann Integrieren auch bedeuten, dass man einen geeigneten Mittelwert bildet.

Andreas Büchter, Hans-Wolfgang Henn

8. Anwendungen in Theorie und Praxis

Zusammenfassung

Der Umgang mit „Bestand und Veränderung“ kann es in sich haben. In dem am 30.08.06 imWeserkurier erschienenen Artikel „Neuverschuldung soll sinken“ (siehe Ausschnitt in Abb. 8.1; vgl. Hahn & Prediger (2008)) verspricht die Bundeskanzlerin geringere Zinszahlungen. Aus mathematischer Sicht geht es um die Funktion „Schulden in Abhängigkeit von der Zeit“. Aber was wird hier versprochen? Stimmt es wirklich, dass die Zinszahlungen geringer ausfallen, wenn die Neuverschuldung sinkt? Wird die Bestandsfunktion „Schulden“ kleiner? Oder wird nur die Änderungsratenfunktion „Neuverschuldung“ kleiner und die Bestandsfunktion wächst langsamer (vgl. Abb. 8.2)?

Andreas Büchter, Hans-Wolfgang Henn

Backmatter

Titel: Elementare Analysis
verfasst von: Dipl. Math. Andreas Büchter
Prof. Dr. Hans-Wolfgang Henn
Copyright-Jahr: 2010
Verlag: Spektrum Akademischer Verlag
Electronic ISBN: 978-3-8274-2680-2
Print ISBN: 978-3-8274-2091-6
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-8274-2680-2

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