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Erschienen in:
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2014 | OriginalPaper | Buchkapitel

Emptiness and Discharge in Sequent Calculus and Natural Deduction

verfasst von : Michael Arndt, Luca Tranchini

Erschienen in: Recent Trends in Philosophical Logic

Verlag: Springer International Publishing

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Abstract

We investigate the correlation between empty antecedent and succedent of the intutionistic (respectively dual-intuitionistic) sequent calculus and discharge of assumptions and the constants absurdity (resp. discharge of conclusions and triviality) in natural deduction. In order to be able to express and manipulate the sequent calculus phenomena, we add two units to sequent calculus. Depending on the sequent calculus considered, the units can serve as discharge markers or as absurdity and triviality.

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Fußnoten
1
As already mentioned, negation could also be understood as a defined notion, in which case the rule is simply an instance of (\(\rightarrow \)E).
 
2
The terminology of ‘assumption’ and ‘conclusion’ is employed for the purpose of retaining the correspondences to antecedent and succedent of sequents. The terminology of ‘introduction’ and ‘elimination’ rules follows this perspective and is thereby counter-intuitive to the direction in which derivations are constructed.
 
3
In this we follow Gentzen’s example in the second part of the Untersuchungen, where he suggests the formula \(p \wedge \lnot p\) (for some arbitrary propositional variable \(p\)) as propositional representation of https://static-content.springer.com/image/chp%3A10.1007%2F978-3-319-06080-4_2/323277_1_En_2_IEq87_HTML.gif in the sequent calculus as part of his translation of derivations in NI into derivations in LI. Gentzen’s choice of some arbitrary \(p\) is however a merely utilitarian ad hoc choice. If one wished to abstract over the choice of \(p\), one could define units as second-order formulae.
https://static-content.springer.com/image/chp%3A10.1007%2F978-3-319-06080-4_2/323277_1_En_2_Equ16_HTML.gif
However, we will actually profit from labels and thereby we chose to stay within the propositional setting.
 
4
If one wished a direct correspondence between discharged formulae in the \(*\)-red derivability and formulae (and not just labelled units) in sequent calculus, one could introduce a sequent calculus \(\mathrm{\mathsf{LI}}^{*}\) which instead of introducing units labelled with the discharged formulae, just put the latter ones in a special “discharge” context.
 
Literatur
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Tranchini, L. (2010). Refutation: A proof-theoretic account. In C. Marletti (Ed.), First Pisa colloquium in logic. Pisa: Language and Epistemology, ETS.
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Metadaten
Titel
Emptiness and Discharge in Sequent Calculus and Natural Deduction
verfasst von
Michael Arndt
Luca Tranchini
Copyright-Jahr
2014
Buch
Recent Trends in Philosophical Logic

Print ISBN: 978-3-319-06079-8

Electronic ISBN: 978-3-319-06080-4

Copyright-Jahr: 2014

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-319-06080-4_2