Endlich gelöst! Aufgaben zur Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler

Band 2: Analysis in R^n und gewöhnliche Differentialgleichungen

verfasst von: Wilhelm Merz, Peter Knabner

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Dieses Buch bietet Lösungen zu den 240 Aufgaben aus dem Buch „Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler - Band 2: Analysis in R^n und gewöhnliche Differentialgleichungen“. Die Lösungen sind detailliert und verständlich ausgearbeitet, bei einigen Aufgaben werden alternative Lösungswege vorgestellt und verglichen. Bedingt durch das breite Aufgabenspektrum eignet sich dieses Aufgaben- und Lösungsbuch für diverse Studiengänge. Neben den Studierenden der Ingenieurwissenschaften und technisch-physikalisch orientierten Studiengänge profitieren auch in besonderer Weise Lehramtsstudierende und Studierende des Faches Mathematik von der Aufgabenvielfalt.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Chapter 1. Reellwertige Funktionen von mehreren reellen Veränderlichen

Zusammenfassung

Es werden skalarwertige Funktionen in Abhängigkeit von mehreren Variablen besprochen. Dieser Funktionstyp unterscheidet sich hinsichtlich verschiedener Eigenschaften von Abbildungen, welche nur von einer Variablen abhängen. So ist bereits die Bestimmung der Definitions- bzw. der Wertebereiche deutlich umfangreicher und Begriffe wie Stetigkeit und Differenzierbarkeit erweisen sich im mehrdimensionalen Fall als weitaus schwieriger. Extremwertaufgaben bekommen in mehreren Dimensionen einen ganz besonderen Stellenwert. Anhand von zweiundsiebzig Aufgaben unterschiedlichen Niveaus sollen die Leserinnen und Leser dieses Buches an die erwähnten Begrifflichkeiten herangeführt und letztlich damit vertraut gemacht werden.

Wilhelm Merz, Peter Knabner

Chapter 2. Differentialrechnung vektorwertiger Funktionen

Zusammenfassung

Der zuvor eingeführte Funktionstyp wird hier auf vektorwertige Funktionen erweitert. Damit ist die allgemeinste Form einer Abildung gegeben. Es liegt nun nahe, die zuvor besprochenen Eigenschaften von Funktionen auf diesen Abbildungstyp zu verallgemeinern und anhand einundzwanzig geeigneter Aufgaben einen sicheren Umgang mit diesen in vielen Anwendungsbereichen relevanten Funktionen zu erreichen. Es zeigt sich auch, dass sich hier vielfältigere Ableitungsregeln ergeben und diesen durch speziell gewählte Aufgaben besondere Aufmerksamkeit gewidmet wird.

Wilhelm Merz, Peter Knabner

Chapter 3. Mehrdimensionale Integration

Zusammenfassung

Ein zentrales Thema ist die mehrdimensionale Integration. Während bei der eindimensionalen Integration entlang eines Intervalls integriert wird, sind jetzt mehrdimensionale Integrationsgebiete unterschiedlichster geometrischer Eigenschaften relevant. Wir beschränken uns in diesem Rahmen auf skalarwertige Integranden in Abhängigkeit von lediglich zwei oder drei Variablen, auch in Hinblick darauf, dass dies die praxisrelevanten Dimensionen sind. Daraus resultieren entsprechend Flächen- oder Volumenintegrale, welche spezielle Integrations- bzw. Lösungstechniken erfordern. Ein besonderes Augenmerk wird dabei auf die Transformationsformel, eine Verallgemeinerung der Substitutionsregel im eindimensionalen Fall, gelegt. Dreißig kreative Aufgaben bieten die Möglichkeit, sich mit diesem Themenbereich vertraut zu machen.

Wilhelm Merz, Peter Knabner

Chapter 4. Flächen und Flächenintegrale

Zusammenfassung

Im dreidimensionalen euklidischen Raum lassen sich Flächen bzw. Oberflächen als zweidimensionale Gebilde auf verschiedene Art und Weise darstellen. Besonders effektiv ist die sog. Parameterdarstellung, aus welcher sich recht einfach die Formulierung von Oberflächenintegralen zur Berechnung der Flächeninhalte herleiten lässt. Auch Kurvenintegrale sind in diesem Zusammenhang ein Thema und für beide Integralsorten werden physikalische Anwendungsbereiche besprochen. Fünfzehn Aufgaben werden zu diesem Kapitel formuliert.

Wilhelm Merz, Peter Knabner

Chapter 5. Stammfunktionen und Wegunabhängigkeit von Kurven- und Flächenintegralen

Zusammenfassung

Hier werden weitere, physikalisch relevante Differentialoperatoren und damit verbunden zusätzliche Rechenregeln für differenzierbare Funktionen eingeführt. Ausgewählte Aufgaben sollen diese Regeln den Studierenden näherbringen. Zudem werden hier Gradientenfelder und damit verbunden Potentiale zu gegebenen Vektorfeldern besprochen. Die Existenz derartiger Potentiale und deren Berechnung ist ein zentraler Punkt in diesem Kapitel. Insgesamt zwölf formulierte Aufgaben dienen dazu, sich mit diesem Themenbereich anzufreunden.

Wilhelm Merz, Peter Knabner

Chapter 6. Integralsätze von Gauß und Stokes

Zusammenfassung

Die wichtigsten Resultate aus dem Bereich der mehrdimensionalen Integration sind hier zu finden. Es handelt sich dabei um die beiden berühmten Integralsätze von Gauß bzw. Stokes, welche Zusammenhänge zwischen Volumen- und Oberflächenintegralen bzw. Oberflächen- und Kurvenintegralen herstellen. Fünfzehn ausgefallene Aufgaben sorgen dafür, diese Sachverhalte zu vertiefen.

Wilhelm Merz, Peter Knabner

Chapter 7. Gewöhnliche Differentialgleichungen

Zusammenfassung

Gewöhnliche Differentialgleichungen sind Inhalt des letzten Kapitels. Fünfundsiebzig Aufgaben sollen dazu dienen, Ihnen einen absolut vertrauten Umgang mit diesen Gleichungen zu vermitteln. Es gibt zahlreiche Lösungsmethoden für spezielle Formen von Differentialgleichungen und ausgew ählte Aufgaben dazu stehen zur Verfügung. Bestimmte Formen von linearen Differentialgleichungssystemen stehen dabei im Mittelpunkt dieses Kapitels. Neben grundlegenden Existenz- und Eindeutigkeitsfragen, werden auch Stabilitätsangelegenheiten besprochen und mit passgenauen Aufgaben belegt. Abgerundet wird dieser Teil des Buches durch die Bereitstellung gängiger numerischer Lösungsverfahren für gewöhnliche Differentialgleichungen.

Wilhelm Merz, Peter Knabner

Backmatter

Titel: Endlich gelöst! Aufgaben zur Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler
verfasst von: Wilhelm Merz
Peter Knabner
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-662-54783-0
Print ISBN: 978-3-662-54782-3
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-54783-0