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BIT Numerical Mathematics

Erschienen in:

27.09.2017

Energy dissipative numerical schemes for gradient flows of planar curves

verfasst von: Tomoya Kemmochi

Erschienen in: BIT Numerical Mathematics | Ausgabe 4/2017

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Abstract

In this paper, we develop an energy dissipative numerical scheme for gradient flows of planar curves, such as the curvature flow and the elastic flow. Our study presents a general framework for solving such equations. To discretize the time variable, we use a similar approach to the discrete partial derivative method, which is a structure-preserving method for gradient flows of graphs. For the approximation of curves, we use B-spline curves. Owing to the smoothness of B-spline functions, we can directly address higher order derivatives. Moreover, since B-spline curves require few degrees of freedom, we can reduce the computational cost. In the last part of the paper, we present some numerical examples of the elastic flow, which exhibit topology-changing solutions and more complicated evolution. Videos illustrating our method are available on YouTube.

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Aimoto, Y., Matsuo, T., Miyatake, Y.: A local discontinuous Galerkin method based on variational structure. Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. S 8(5), 817–832 (2015)CrossRefMATHMathSciNet

Barrett, J.W., Garcke, H., Nürnberg, R.: A parametric finite element method for fourth order geometric evolution equations. J. Comput. Phys. 222(1), 441–462 (2007)CrossRefMATHMathSciNet

Barrett, J.W., Garcke, H., Nürnberg, R.: Numerical approximation of gradient flows for closed curves in \({\mathbb{R}}^{d}\). IMA J. Numer. Anal. 30(1), 4–60 (2010)CrossRefMATHMathSciNet

Bazilevs, Y., Takizawa, K., Tezduyar, T.E.: Computational Fluid-Structure Interaction: Methods and Applications. Wiley, Hoboken (2013)CrossRefMATH

Bellettini, G., Mantegazza, C., Novaga, M.: Singular perturbations of mean curvature flow. J. Differ. Geom. 75(3), 403–431 (2007)CrossRefMATHMathSciNet

Corttrell, J.A., Hughes, T.J.R., Bazilevs, Y.: Isogeometric Analysis: Toward Integration of CAD and FEA. Wiley, Chichester (2009)CrossRef

Deckelnick, K., Dziuk, G.: Error analysis for the elastic flow of parametrized curves. Math. Comput. 78(266), 645–671 (2009)CrossRefMATHMathSciNet

Deckelnick, K., Dziuk, G., Elliott, C.M.: Computation of geometric partial differential equations and mean curvature flow. Acta Numer. 14, 139–232 (2005)CrossRefMATHMathSciNet

Dziuk, G., Kuwert, E., Schätzle, R.: Evolution of elastic curves in \({\mathbb{R}}^{n}\): existence and computation. SIAM J. Math. Anal. 33(5), 1228–1245 (2002)CrossRefMATHMathSciNet

10.

Farin, G.E.: NURBS. From Projective Geometry to Practical Use, 2nd edn. A K Peters Ltd., Natick (1999)MATH

11.

Furihata, D.: Finite difference schemes for \(\partial u/\partial t=(\partial /\partial x)^\alpha \delta G/\delta u\) that inherit energy conservation or dissipation property. J. Comput. Phys. 156(1), 181–205 (1999)CrossRefMATHMathSciNet

12.

Furihata, D., Matsuo, T.: Discrete Variational Derivative Method. A Structure-preserving Numerical Method for Partial Differential Equations. CRC Press, Boca Raton (2011)MATH

13.

Hairer, E., Lubich, C., Wanner, G.: Geometric Numerical Integration. Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations, 2nd edn. Springer, Berlin (2006)MATH

14.

Love, A.E.H.: A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity, 4th edn. Dover Publications, New York (1944)MATH

15.

Matsuo, T.: Dissipative/conservative Galerkin method using discrete partial derivatives for nonlinear evolution equations. J. Comput. Appl. Math. 218(2), 506–521 (2008)CrossRefMATHMathSciNet

16.

Piegl, L., Tiller, W.: The NURBS Book, 2nd edn. Springer, Berlin (1997)CrossRefMATH

17.

Sachkov, Y.L.: Closed Euler elasticae. Trans. Math. Inst. Steklova 278, 227–241 (2012). (Differentsialnye Uravneniya i Dinamicheskie Sistemy)MATHMathSciNet

18.

Schumaker, L.L.: Spline Functions: Basic Theory. 3rd edn. Cambridge University Press, Cambridge (2007)

19.

Singer, D.A.: Lectures on elastic curves and rods. In: Curvature and Variational Modeling in Physics and Biophysics, volume 1002 of AIP Conference Proceedings, pp. 3–32. American Institute of Physics, Melville (2008)

Titel: Energy dissipative numerical schemes for gradient flows of planar curves
verfasst von: Tomoya Kemmochi
Publikationsdatum: 27.09.2017
Verlag: Springer Netherlands
Erschienen in: BIT Numerical Mathematics / Ausgabe 4/2017
Print ISSN: 0006-3835
Elektronische ISSN: 1572-9125
DOI: https://doi.org/10.1007/s10543-017-0685-6

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