Erfolgreich Starten ins Ingenieurstudium

Grundlagen der Mathematik anwendungsorientiert erklärt

verfasst von: Stefan Ritter, Ursula Voß

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Mit Hilfe dieses Buchs erarbeiten Sie grundlegende mathematische Begriffe und Rechentechniken, die Sie in den ersten Semestern des Ingenieurstudiums für Vorlesungen zu Grundlagen der Elektrotechnik und weiteren Anwendungsvorlesungen benötigen. Bereits zu Beginn des Studiums wird erwartet, dass Sie mathematische Zusammenhänge kennen, Rechenverfahren beherrschen und diese in teilweise recht komplexen Situationen sicher anwenden können. Der sichere Umgang mit Mathematik ist der Schlüssel zum Verständnis technischer und logischer Zusammenhänge im eigentlichen Ingenieurfach.

Das Buch eignet sich zum vorlesungsbegleitenden Selbstlernen und Nachschlagen. Neben vielen vollständig durchgerechneten mathematischen Beispielen enthält es zahlreiche Anwendungen aus der Technik. Hier werden die vorgestellten mathematischen Methoden in typischen Anwendungsfällen Ihres Fachs eingesetzt. Aufgaben mit vollständig durchgerechneten Lösungen bieten ausreichend Material zum Üben und zur Kontrolle des Lernfortschritts.

Dr. Stefan Ritter ist Professor für Mathematik an der Hochschule Karlsruhe und unterrichtet Ingenieure der Informationstechnik. Dr. Ursula Voß ist Professorin für Angewandte Mathematik an der Hochschule für Technik Stuttgart und unterrichtet Ingenieure verschiedener Fachrichtungen in Mathematik.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Zahlen und Rechenregeln

Zusammenfassung

Zahlen, Variablen und damit gebildete Ausdrücke werden verwendet bei der Beschreibung von Größen aller Art. Die grundlegenden Zahlenmengen – natürliche Zahlen, ganze Zahlen, rationale Zahlen und reelle Zahlen – werden diskutiert. In diesem Kapitel wiederholen wir elementare Rechenregeln für Zahlen und Ausdrücke, insbesondere für Brüche, und stellen typische Anwendungen vor, in denen sie gebraucht werden. Neben den elementaren Rechenregeln für die Kombination von Klammern und Grundrechenarten erklären wir den in der Praxis wichtigen Umgang mit Doppelbrüchen und mit Potenzen, Wurzeln und Logarithmen.

Stefan Ritter, Ursula Voß

2. Funktionen

Zusammenfassung

Funktionen sind ein grundlegendes Werkzeug, um voneinander abhängige Größen darzustellen, z.B. die Änderung der Spannung an einer elektrischen Komponente im Laufe der Zeit, die zeitliche Änderung des Drehwinkels in einem Elektromotor oder die Änderung einer Signalstärke in Abhängigkeit sowohl von Zeit als auch vom Ort. In diesem Kapitel wiederholen wir das Konzept der Funktion und diskutieren qualitative Eigenschaften von Funktionen. Danach stellen wir die wichtigsten Funktionen vor, die in den Ingenieurwissenschaften benötigt werden. Es schließen sich zahlreiche Beispiele an, die den Funktionsbegriff im Anwendungskontext vertiefen.

Stefan Ritter, Ursula Voß

3. Gleichungen

Zusammenfassung

Das Lösen von Gleichungen ist eine zentrale Aufgabe. Die in der Praxis vorkommenden Gleichungen enthalten algebraische Strukturen wie Brüche, Potenzen, Wurzeln oder Logarithmen, die jeweils eigene Lösungstechniken erfordern. In diesem Kapitel erklären wir das Lösen von linearen und quadratischen Gleichungen. Wir zeigen, wie man Bruchgleichungen durch Multiplikation mit dem Hauptnenner löst und erklären, warum hier oft eine Fallunterscheidung nötig ist. Wir zeigen, wie man Wurzel-, Exponential- und Logarithmusgleichungen löst. Wir erklären die Besonderheiten von Gleichungen, die trigonometrische Funktionen wie Sinus und Kosinus enthalten und zeigen, wie man mit der Periodizität dieser Funktionen umgeht. Zu allen Gleichungstypen werden Beispiele aus Ingenieuranwendungen vorgestellt und ausführlich gelöst.

Stefan Ritter, Ursula Voß

4. Differenzieren von Funktionen

Zusammenfassung

Differenziation oder Ableiten einer Funktion ist ein mathematisches Werkzeug, um zu beschreiben, wie sich eine Funktion ändert. Wir führen zunächst die zum Verständnis wichtigen Folgen und Grenzwerte von Folgen und Funktionen ein und definieren mit ihrer Hilfe den Ableitungsbegriff. Wir stellen die Ableitungen wichtiger elementarer Funktionen zusammen und erklären verschiedene Techniken, wie man die Ableitung von Funktionen bestimmt, die aus diesen elementaren Funktionen zusammengesetzt sind. Zum Abschluss diskutieren wir Anwendungen u.a. die Bestimmung von Extremwerten von Funktionen, die Darstellung von Funktionen durch Polynome sowie die Berechnung von Grenzwerten.

Stefan Ritter, Ursula Voß

5. Integrieren von Funktionen

Zusammenfassung

Die Integration einer Funktion spielt nicht nur bei geometrischen Überlegungen, z.B. bei der Berechnung der Fläche unter einer Kurve, eine wichtige Rolle, sondern auch überall da, wo physikalische Größen im engeren oder weiteren Sinne aufsummiert werden. In diesem Kapitel führen wir die Integration als Umkehrung der Differenziation ein und erklären den Begriff der Stammfunktion sowie das unbestimmte und das bestimmte Integral. Wir beschreiben die wichtigsten Eigenschaften des Integrals und stellen die klassischen Techniken zum Berechnen von Integralen vor. Neben der partiellen Integration und der Substitution wird die Integration durch Partialbruchzerlegung ausführlich diskutiert. Anhand praktischer Anwendungen wird der Begriff des Integrals vertieft. Das Kapitel schließt mit uneigentlichen Integralen und deren Anwendung.

Stefan Ritter, Ursula Voß

6. Vektoren und Vektorrechnung

Zusammenfassung

Viele wichtige physikalische Größen wie z.B. Kräfte lassen sich nicht durch eine einzige Zahl beschreiben, sondern erfordern die Beschreibung durch einen Vektor, d.h. die Angabe von Betrag und Richtung. In diesem Kapitel erklären wir das Konzept von Vektoren und beschreiben, wie man mit Vektoren rechnen kann. Das Skalarprodukt und das Vektorprodukt werden sowohl koordinatenfrei als auch in kartesischen Koordinaten eingeführt. Wir beschreiben ihre Eigenschaften und besprechen typische Anwendungssituationen.

Stefan Ritter, Ursula Voß

7. Lineare Gleichungssysteme und Matrizen

Zusammenfassung

Lineare Gleichungssysteme treten dann auf, wenn Kombinationen von mehreren Größen mehrere Bedingungen erfüllen müssen. Dies ist bei vielen Problemen der Mechanik und Elektrotechnik der Fall, z.B. bei Gleichgewichtsproblemen und bei der Berechnung von Spannungen und Strömen in elektrischen Netzwerken. In diesem Kapitel betrachten wir lineare Gleichungssysteme in zwei und drei Unbekannten. Wir beschreiben einfache Lösungsverfahren. Um lineare Gleichungssysteme effizient aufschreiben und lösen zu können, kann man Matrizen verwenden. Wir erklären den Begriff der Matrix und die für Matrizen gültigen Rechenregeln. Wir erklären, wie die Determinante einer Matrix definiert ist und wie man mit ihrer Hilfe Aussagen über die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems treffen kann, ohne das System explizit zu lösen.

Stefan Ritter, Ursula Voß

8. Komplexe Zahlen

Zusammenfassung

Komplexe Zahlen werden in der Mathematik motiviert als eine Erweiterung der reellen Zahlen, in der auch bisher unlösbare Polynomgleichungen eine Lösung haben. In Anwendungen, wo mit sinusförmigen Größen gearbeitet wird, erleichtern komplexe Zahlen die Umformungen und Rechnungen. Eine Hauptanwendung der komplexen Zahlen in der Elektrotechnik ist die Analyse von Wechselstromkreisen. In diesem Kapitel führen wir die komplexen Zahlen ein. Wir erläutern die verschiedenen Darstellungsformen für komplexe Zahlen und erklären, wie man mit ihnen rechnet. Wir zeigen, wie Schwingungen mithilfe von Zeigern und komplexen Zahlen dargestellt werden und diskutieren die Anwendung komplexer Zahlen für Aufgabenstellungen der Elektrotechnik.

Stefan Ritter, Ursula Voß

9. Differenzialgleichungen

Zusammenfassung

Differenzialgleichungen beschreiben Größen, die über ihr Änderungsverhalten charakterisiert sind, wobei dieses Änderungsverhalten wieder mit dem aktuellen Wert der Größe verknüpft ist. Die Lösung einer Differenzialgleichung ist eine Funktion, und um diese zu finden, gibt es eine Reihe von speziellen Lösungsverfahren. In diesem Kapitel verwenden wir Inhalte aus den Kapiteln über Differenzial- und Integralrechnung zur Lösung von Differenzialgleichungen. Insbesondere werden Differenzialgleichungen 1. Ordnung behandelt, wie sie bei Schaltvorgängen und Abkühlungsprozessen vorkommen, und Differenzialgleichungen 2. Ordnung, wie sie bei Schwingungen und in Schwingkreisen auftreten. Wir erklären die für die Praxis wichtigsten Verfahren wie Trennung der Veränderlichen, Variation der Konstanten für Gleichungen 1. Ordnung, den Exponentialansatz und den Ansatz vom Typ der rechten Seite für Gleichungen zweiter Ordnung und demonstrieren sie an zahlreichen Beispielen.

Stefan Ritter, Ursula Voß

Backmatter

Titel: Erfolgreich Starten ins Ingenieurstudium
verfasst von: Stefan Ritter
Ursula Voß
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-642-54941-0
Print ISBN: 978-3-642-54940-3
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-54941-0