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Erschienen in:
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2018 | OriginalPaper | Buchkapitel

2. Fermat’s Last Theorem

verfasst von : Jeremy Gray

Erschienen in: A History of Abstract Algebra

Verlag: Springer International Publishing

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Abstract

In this chapter we look at Fermat’s account of the equation x 4 + y 4 = z 4 and then at Euler’s flawed but insightful account of x 3 + y 3 = z 3.

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Fußnoten
1
More precisely, a theorem of Tunnell (1983), allows one to determine all integers that are the areas of right-angled triangles with rational sides—the so-called triangular numbers—but the theorem assumes the truth of the Birch–Swinnerton-Dyer conjecture. See, among other good sources on the web, Jim Brown, Congruent numbers and elliptic curves, http://​www.​math.​caltech.​edu/​~jimlb/​congruentnumbers​long.​pdf, Keith Conrad, The Congruent Number Problem, http://​www.​math.​uconn.​edu/​~kconrad/​blurbs/​ugradnumthy/​congnumber.​pdf and, for more on the early history, Norbert Schappacher, Diophantus of Alexandria: a text and its history http://​www-irma.​u-strasbg.​fr/​~schappa/​NSch/​Publications-files/​Dioph.​pdf.
 
2
See Fermat, Oeuvres 2, 376.
 
3
Fermat, Oeuvres I, 340–341 and F & G 11.C8.
 
4
Notice, with Euler, that because 2p is to be a cube it must be of the form 8p′ 3.
 
5
I omit this case, because it proceeds similarly to the case we shall discuss. Here \(z^3 = \frac {9r}{4}(3r^2 + q^2)\), so Euler could write q = t(t 2 − 9u 2) and r = 3u(t 2 − u 2) with u even and t odd, and obtain another infinite descent. See also Edwards Fermat’s Last Theorem, p. 42, because it is another argument upon which no significant historical point depends.
 
6
Euler, Elements of Algebra, p. 452.
 
7
Euler, Elements of Algebra, p. 396.
 
8
See Euler (2015, pp. 532–535), and for an introduction to Elkies’s discovery of fourth powers that are sums of only three fourth powers see the Wikipedia entry ‘Euler’s sum of powers conjecture’.
 
Literatur
Euler, L.: Leonhard Euler. Correspondence. In: Lemmermeyer, F., Mattmüller, M. (eds.) Opera Omnia, (4) A: Commercium Epistolicum, Vol. IV, parts I and II. Birkhäuser, Boston (2015)
Tunnell, J.: A classical Diophantine problem and modular forms of weight 3/2. Invent. Math. 72(2), 323–334 (1983)MathSciNetCrossRef
Weil, A.: Number Theory from Hammurapi to Legendre. Birkhäuser, Boston (1984)MATH
Metadaten
Titel
Fermat’s Last Theorem
verfasst von
Jeremy Gray
Copyright-Jahr
2018
Buch
A History of Abstract Algebra

Print ISBN: 978-3-319-94772-3

Electronic ISBN: 978-3-319-94773-0

Copyright-Jahr: 2018

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-319-94773-0_2