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Erschienen in:

2016 | OriginalPaper | Buchkapitel

Forbidden Integer Ratios of Consecutive Power Sums

verfasst von : Ioulia N. Baoulina, Pieter Moree

Erschienen in: From Arithmetic to Zeta-Functions

Verlag: Springer International Publishing

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Abstract

Let S _k(m): = 1^k + 2^k + ⋯ + (m − 1)^k denote a power sum. In 2011 Bernd Kellner formulated the conjecture that for m ≥ 4 the ratio S _k(m + 1)∕S _k(m) of two consecutive power sums is never an integer. We will develop some techniques that allow one to exclude many integers ρ as a ratio and combine them to exclude the integers 3 ≤ ρ ≤ 1501 and, assuming a conjecture on irregular primes to be true, a set of density 1 of ratios ρ. To exclude a ratio ρ one has to show that the Erdős–Moser type equation (ρ − 1)S _k(m) = m ^k has no non-trivial solutions.

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T. Arakawa, T. Ibukiyama, M. Kaneko, Bernoulli Numbers and Zeta Functions. Springer Monographs in Mathematics (Springer, Tokyo, 2014)

E. Bach, D. Klyve, J. Sorenson, Computing prime harmonic sums. Math. Comput. 78, 2283–2305 (2009)MathSciNetCrossRefMATH

J.M. Borwein, A. van der Poorten, J. Shallit, W. Zudilin, Neverending Fractions: An Introduction to Continued Fractions. Australian Mathematical Society Lecture Series, vol. 23 (Cambridge University Press, Cambridge, 2014)

W. Butske, L.M. Jaje, D.R. Mayernik, On the equation ∑ _{p | N}(1∕p) + (1∕N) = 1, pseudoperfect numbers, and perfectly weighted graphs. Math. Comput. 69, 407–420 (2000)MathSciNetCrossRefMATH

L. Carlitz, Note on irregular primes. Proc. Am. Math. Soc. 5, 329–331 (1954)MathSciNetCrossRefMATH

Y. Gallot, P. Moree, W. Zudilin, The Erdős-Moser equation 1^k + 2^k + ⋯ + (m − 1)^k = m ^k revisited using continued fractions. Math. Comput. 80, 1221–1237 (2011)MathSciNetCrossRefMATH

K. Ireland, M. Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory (Springer, New York, 1990)CrossRefMATH

B.C. Kellner, Über irreguläre Paare höherer Ordnungen, Diplomarbeit, Mathematisches Institut der Georg–August–Universität zu Göttingen, Germany (2002). Also available at http://www.bernoulli.org/~{}bk/irrpairord.pdf

B.C. Kellner, On irregular prime power divisors of the Bernoulli numbers. Math. Comput. 76, 405–441 (2007)MathSciNetCrossRefMATH

10.

B.C. Kellner, On stronger conjectures that imply the Erdős-Moser conjecture. J. Number Theory 131, 1054–1061 (2011)MathSciNetCrossRefMATH

11.

E.E. Kummer, Allgemeiner Beweis des Fermatschen Satzes, dass die Gleichung x ^λ + y ^λ = z ^λ durch ganze Zahlen unlösbar ist, für alle diejenigen Potenz-Exponenten λ, welche ungerade Primzahlen sind und in den Zählern der ersten (λ − 3)∕2 Bernoullischen Zahlen als Factoren nicht vorkommen. J. Reine Angew. Math. 40, 131–138 (1850)

12.

F. Luca, A. Pizarro-Madariaga, C. Pomerance, On the counting function of irregular primes. Indag. Math. 26, 147–161 (2015)MathSciNetCrossRefMATH

13.

T. Metsänkylä, Distribution of irregular prime numbers. J. Reine Angew. Math. 282, 126–130 (1976)MathSciNetMATH

14.

P. Moree, On a theorem of Carlitz-von Staudt. C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada 16, 166–170 (1994)MathSciNetMATH

15.

P. Moree, Diophantine equations of Erdős-Moser type. Bull. Aust. Math. Soc. 53, 281–292 (1996)MathSciNetCrossRefMATH

16.

P. Moree, A top hat for Moser’s four mathemagical rabbits. Am. Math. Mon. 118, 364–370 (2011)MathSciNetCrossRefMATH

17.

P. Moree, Moser’s mathemagical work on the equation 1^k + 2^k + ⋯ + (m − 1)^k = m ^k. Rocky Mt. J. Math. 43, 1707–1737 (2013)MathSciNetCrossRefMATH

18.

P. Moree, Counting numbers in multiplicative sets: Landau versus Ramanujan. Šiauliai Math. Semin. 8 (16), 161–179 (2013)MathSciNetMATH

19.

P. Moree, H. te Riele, J. Urbanowicz, Divisibility properties of integers x, k satisfying 1^k + ⋯ + (x − 1)^k = x ^k. Math. Comput. 63, 799–815 (1994)MathSciNetMATH

20.

L. Moser, On the diophantine equation 1ⁿ + 2ⁿ + 3ⁿ + ⋯ + (m − 1)ⁿ = m ⁿ. Scr. Math. 19, 84–88 (1953)MATH

21.

P. Ribenboim, Catalan’s Conjecture. Are 8 and 9 the only Consecutive Powers? (Academic, Boston, 1994)

22.

W. Schwarz, J. Spilker, Arithmetical Functions. London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 184 (Cambridge University Press, Cambridge, 1994)

23.

C.L. Siegel, Zu zwei Bemerkungen Kummers. Nachr. Akad. Wiss. Göttingen Math.-Phys. Kl. II 6, 51–57 (1964)MathSciNetMATH

24.

P. Tegelaar, Handwritten comments on an earlier version of this paper, March 6, 2015

Titel: Forbidden Integer Ratios of Consecutive Power Sums
verfasst von: Ioulia N. Baoulina
Pieter Moree
Verlag: Springer International Publishing
Buch: From Arithmetic to Zeta-Functions
Print ISBN: 978-3-319-28202-2

Electronic ISBN: 978-3-319-28203-9

Copyright-Jahr: 2016
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-319-28203-9_1

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Abstract

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