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Erschienen in:
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2015 | OriginalPaper | Buchkapitel

1. From Fermat to Legendre

verfasst von : Oswald Baumgart

Erschienen in: The Quadratic Reciprocity Law

Verlag: Springer International Publishing

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Abstract

After Bachet de Méziriac [1] had brought the theory of linear diophantine equations to a certain closure, mathematicians were faced with the question of solving equations of the second degree, in particular the binomial congruence of degree 2. In other words, the problem was to find simple conditions for the solvability of the congruence
$$\displaystyle{x^{2} \equiv p\bmod q,}$$
where p and q are given integers.

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Fußnoten
1
[FL] Using modern notation, this can be translated as follows:
1.
A prime has the form \(p = 4\mathit{ns} + (2x + 1)^{2}\) if and only if \(p \equiv 1\bmod 4\) and \(p \equiv y^{2}\bmod s\). Thus the first statement claims that if \(p \equiv 1\bmod 4\) is prime and \(p \equiv x^{2}\bmod s\) for some prime s, then \(\pm s \equiv y^{2}\bmod p\). In other words: if \(p \equiv 1\bmod 4\) then \((\frac{p} {s}) = +1 \Rightarrow (\frac{\pm s} {p} ) = +1\).
 
2.
If \(p \equiv 3\bmod 4\) is prime and \(-p \equiv x^{2}\bmod s\) for some prime s, then \(s \equiv y^{2}\bmod p\) and \(-s\not\equiv y^{2}\bmod p\). In other words: if \(p \equiv 3\bmod 4\) then \((\frac{-p} {s} ) = +1 \Rightarrow (\frac{s} {p}) = +1,\ (\frac{-s} {p} ) = -1\).
 
3.
If \(p \equiv 3\bmod 4\) is prime and \(-p\not\equiv x^{2}\bmod s\) for some prime s, then \(-s \equiv y^{2}\bmod p\) and \(s\not\equiv y^{2}\bmod p\). In other words: if \(p \equiv 3\bmod 4\) then \((\frac{-p} {s} ) = -1 \Rightarrow (\frac{-s} {p} ) = +1,\ (\frac{s} {p}) = -1\).
 
4.
If \(p \equiv 1\bmod 4\) is prime and \(p\not\equiv x^{2}\bmod s\) for some prime s, then \(\pm s\not\equiv y^{2}\bmod p\). In other words: if \(p \equiv 1\bmod 4\) then \((\frac{p} {s}) = -1 \Rightarrow (\frac{\pm s} {p} ) = -1\).
 
 
2
[FL] It seems that Baumgart is wrong here. I cannot see anything wrong with Euler’s formulation.
 
3
\(b^{(a-1)/2} = 1\), …should actually read \(b^{(a-1)/2} \equiv 1\bmod a\) ….
 
4
[FL] Since the analogous quantities \(N^{(c-1)/2}\) will occur often in our researches, we shall employ the abbreviation \((\frac{N} {c} )\) for expressing the residue that \(N^{(c-1)/2}\) gives upon division by c, and which, according to what we just have seen, only assumes the values + 1 or − 1.
 
5
[FL] Whatever the prime numbers m and n are, if they are not both of the form 4x − 1, one always has \(( \frac{n} {m}) = (\frac{m} {n} )\); and if both are of the form 4x − 1, one has \(( \frac{n} {m}) = -(\frac{m} {n} )\). These two general cases are contained in the formula
$$\displaystyle{\left ( \frac{n} {m}\right ) = (-1)^{\frac{n-1} {2} \cdot \frac{m-1} {2} }\left (\frac{m} {n} \right ).}$$
 
6
[FL] Actually, it also is important for Gauss’s first proof in the form given by Dirichlet, which will be discussed in the next section.
 
Literatur
1.
Bachet de Méziriac Théorèmes plaisans et délectables qui se font par les nombres, 1st ed. 1612; 2nd ed. 1624; cf. p.
19.
L. Euler, Supplementum quorundam theorematum arithmeticorum, quae in nonnullis demonstrationibus supponuntur (E272), Comment. nov. Petropol. 8 (1763), 105–128; Commentat. arithm. 1 (1849), 287–296; Opera Omnia, Series 1, Volume 2, pp. 556–575; cf. p.
20.
L. Euler, Observationes circa divisionem quadratorum per numeros primos, Opusc. analyt. 1783, I, p. 64–84; Comm. arith. collectae, I p. 477–486; Opera Omnia I - 3 (1783), 477–512; cf. p.
21.
L. Euler, Disquitio accuratior circa residua ex divisione quadratorum altiorumque potestatum per numeros primos relicta (E554), Opuscula analytica 1 (1783), 121–156; Commentat. arithm. 2 (1849), 487–506; Opera Omnia I-3, 513–543; cf. p.
23.
P. de Fermat, Varia Opera Mathematica, (Joh. Pech, ed.), Toulouse 1679; cf. p.
25.
C.F. Gauß, Disquisitiones Arithmeticae, Braunschweig 1801; cf. p.
49.
J.L. Lagrange, Recherches d’Arithmetique. Suite, Nouveaux Mémoires de l’Académia Royale des Sciences et Belles Lettres de Berlin (1775), 323–356; cf. p.
53.
A.M. Legendre, Recherches d’analyse indéterminée, Hist. de l’ac. Royale des sciences 1785; cf. p.
54.
A.M. Legendre, Essai sur la théorie des nombres, Deprat, Paris (1798); cf. p.
72.
J. Wallis, Opera Mathematica, Oxford 1693–1699; cf. p.
Metadaten
Titel
From Fermat to Legendre
verfasst von
Oswald Baumgart
Copyright-Jahr
2015
Buch
The Quadratic Reciprocity Law

Print ISBN: 978-3-319-16282-9

Electronic ISBN: 978-3-319-16283-6

Copyright-Jahr: 2015

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-319-16283-6_1