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Über dieses Buch

Dies ist eine Einführung in die Theorie der (Wahrscheinlichkeiten der) großen Abweichungen, die mit Hilfe analytischer Methoden die exponentielle Abfallrate sehr kleiner Wahrscheinlichkeiten charakterisiert. Diese Theorie wurde in den 1960er und 1970er Jahren stark ausgeweitet und bis in die jüngste Vergangenheit kontinuierlich auf immer neue probabilistische Strukturen erweitert. Ihre Grundzüge gehören mittlerweile zu den Standardwerkzeugen eines Wahrscheinlichkeitstheoretikers
In der ersten Hälfte werden die grundlegenden Ideen, Konzepte und Werkzeuge der Theorie erläutert, in der zweiten werden Anwendungsbeispiele aus diversen Forschungsgebieten diskutiert, in denen die Theorie entscheidende Ergebnisse ermöglichte, wie Spektren zufälliger Matrizen, eindimensionale Polymerketten oder Bose-Einstein-Kondensation.
Der Text richtet sich an Studierende, die mindestens zwei einführende Vorlesungen der Wahrscheinlichkeitstheorie genossen haben, sowie an Lehrende, die auf der Basis dieses Buches eine fortführende Vorlesung halten möchten. Der Anwendungsteil eignet sich gut für ein studentisches Seminar als Folgeveranstaltung der zugehörigen Vorlesung.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Der Satz von Cramér

Zusammenfassung
Wir beginnen in Abschn. 1.1 mit der Betrachtung einer Standardsituation, die oft von Interesse ist und an Hand derer wir in die Problematik der Theorie der Großen Abweichungen einführen. Dann geben wir in Abschn. 1.2 einen kleinen Einblick darin, von welcher Natur die Fragen sind, die diese Theorie behandelt, und in Abschn. 1.3 geben wir ein paar einfache Hilfsmittel. Ein erstes Hauptergebnis, der Satz von Cramér, wird in Abschn. 1.4 vorgestellt, und eine Variante davon in Abschn. 1.5.
Wolfgang König

Kapitel 2. Prinzipien Großer Abweichungen

Zusammenfassung
In diesem Kapitel stellen wir in Abschn. 2.1 den grundlegenden Begriff der Theorie der Großen Abweichungen vor und bringen in den weiteren Abschnitten wichtige Beispiele: Die Situation im Satz von Cramér wird in Abschn. 2.2 beleuchtet, Asymptotiken Brown’scher Pfade und die Sätze von Schilder und Strassen in Abschn. 2.3, empirische Maße für u. i. v. Folgen und der Satz von Sanov in Abschn. 2.4 und empirische Paarmaße für Markovketten in Abschn. 2.5.
Wolfgang König

Kapitel 3. Grundlegende Techniken

Zusammenfassung
In diesem Kapitel stellen wir grundlegende Vorgehensweisen vor, mit denen man Prinzipien Großer Abweichungen aus anderen erhalten kann, sowie grundlegende Anwendungsmöglichkeiten von Prinzipien. In Abschn. 3.1 gewinnen wir Prinzipien durch stetige Bilder, in Abschn. 3.2 durch exponentielle Approximation, in Abschn. 3.3 behandeln wir die Asymptotik von Integralen exponentieller Funktionale (Varadhans Lemma), und in Abschn. 3.4 geben wir eine weit reichende Verallgemeinerung des Satzes von Cramèr, den Satz von Gärtner-Ellis. Die Liste der Anwendungen dieses Satzes ist lang und wird deshalb auf die Abschnitte 3.5 und 3.6 verteilt, wo insbesondere die Verweilzeitmaße von Irrfahrten in stetiger Zeit und der Brown’schen Bewegung untersucht werden.
Wolfgang König

Kapitel 4. Ausgewählte Anwendungen

Zusammenfassung
In diesem Kapitel behandeln wir eine Reihe von ausgewählten Anwendungen der Theorie der Großen Abweichungen. Bis auf das eher historische Beispiel aus der Statistik in Abschn. 4.1 stammen alle aus der Forschung der letzten 20 bis 30 Jahre: die Spektra zufälliger großer Matrizen, die räumliche Ausbreitung zufälliger Polymerketten, Langzeitverhalten von zufälligem Massentransport durch ein zufälliges Feld von Quellen und Senken, Irrfahrten in zufälliger Umgebung etc. Wir haben uns bemüht, Beispiele auszuwählen, die nicht aus der Theorie der Großen Abweichungen heraus motiviert werden, aber zu deren Verständnis diese Theorie einen substanziellen oder sogar unverzichtbaren Beitrag liefert.
Wolfgang König

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