Grundlagen der Baustatik

Die Statik ist ursprünglich ein Teilgebiet der Mechanik. Mit dem Entwurf von immer komplexeren Tragsystemen hat sie sich jedoch unabhängig von der Mechanik weiterentwickelt. Heute ist die Baustatik als Folge der auch in Grenzbereichen der Tragfähigkeit geplanten modernen Konstruktionsweisen und mit den hierfür notwendigen weitentwickelten Berechnungsverfahren als eigenständiges Fachgebiet für das Bauwesen unentbehrlich.

Reale Bauwerke sind immer drei–dimensionale Kӧrper. Die Beschreibung der Eigenschaften und die Untersuchung des Verhaltens räumlicher Kӧrper unter äußeren Einwirkungen ist jedoch sehr aufwändig, sodass in der Regel Vereinfachungen erforderlich und sinnvoll sind, die eine effiziente Berechnung zulassen. Die Beschreibung der wesentlichen Eigenschaften eines Bauwerks mit physikalisch begründeten Ansätzen heißt Modellbildung.

Für die Berechnung des Trag– und Verformungsverhaltens von Tragwerken müssen Modellgleichungen für die einzelnen Tragwerkstypen formuliert werden. Ziel der baustatischen Verfahren ist, die Modellgleichungen mӧglichst effizient zu lӧsen, um die für die Sicherheitsnachweise erforderlichen Zustandsgrӧßen schnell zu erhalten. Hierfür sind vereinfachende Annahmen erforderlich, die für ebene Stabtragwerke nachfolgend zusammengestellt sind.

In diesem Abschnitt werden die Vorgehensweisen zur Berechnung von Zustandslinien von statisch bestimmten Tragwerken erläutert und an ausgewählten Beispielen gezeigt. Das Vorgehen der Baustatik ist für Durchlaufträger bereits in Abschnitt 3.3 gezeigt. Im folgenden Abschnitt stehen die M,Q,N-Verläufe in ebenen Fachwerken sowie Rahmen– und Bogentragwerken im Vordergrund.

Bisher ist die Berechnung der Zustandslinien M,Q und N von statisch bestimmten Stabtragwerken erfolgt. Dies ist mit dem Schnittprinzip mӧglich, wenn die Gleichgewichtsbedingungen eingesetzt werden. Statische Systeme kӧnnen nur dann im Gleichgewicht sein, wenn sie nicht verschieblich sind.

Grundlage der bisher gewählten Berechnungsverfahren für Zustandslinien sind der Kraft– und der Momentenbegriff. Wenn ein statisches System nicht verschieblich ist, dann sind bei beliebiger Anwendung des Schnittprinzips alle am System angreifenden Schnittgrӧßen und Lasten im Gleichgewicht. Dies ist sichergestellt, wenn die Gleichgewichtsbedingungen zur Berechnung der Zustandslinien für M, Q und N erfüllt sind.

Die bisher im Arbeitssatz angesetzten Terme sind die Arbeiten wirklicher Kraftgrößen auf konjugierten wirklichen Wegen, wobei die möglichen Systeme starr – ohne innere Arbeiten – oder elastisch sein können. Spannungs– und Verformungszustand sind zunächst in ihrer Größe und Verteilung unbekannt.

Der wesentliche Gedanke des Prinzips der virtuellen Verschiebungen ist in Abschnitt 7.1 herausgearbeitet.

Nach der Berechnung der Zustandslinien erfolgt die Bemessung der tragenden Konstruktion in der Regel an einzelnen, maßgebenden Querschnitten des Tragwerks. Hierfür werden jeweils die maximalen und minimalen Schnittgrößen aus allen Lastfällen benötigt, um die ungünstigste Kombination der Schnittgrößen zu bestimmen.

Bisher stand die Berechnung der Zustandsgrößen für den Nachweis der Standsicherheit im Vordergrund der Tragwerksanalyse. Hierfür werden allein die Gleichgewichtsbedingungen eingesetzt, da die bisher untersuchten Tragwerke statisch bestimmt sind. In der Praxis ist in der Regel jedoch auch die Gebrauchstauglichkeit zu untersuchen und gegebenenfalls nachzuweisen.

Bisher können mit dem PvK einzelne Verschiebungen oder Verdrehungen berechnet werden. Für verschiedene Aufgabenstellungen werden jedoch nicht nur einzelne Weggrößen, sondern die gesamte Biegelinie eines Tragwerks benötigt. Die Biegelinie eines komplexen Rahmentragwerkes kann man additiv aus unterschiedlichen Anteilen zusammensetzen.

Die Arbeitssätze nach Abschnitt 6 sind integrale Aussagen für das gesamte Tragwerk.

Bisher wurde das Trag- und Verformungsverhalten an statisch bestimmten Systemen untersucht sowie die Berechnungsverfahren für Schnittgrößen und Weggrößen grundlegend entwickelt. Statisch bestimmte Systeme besitzen für die Baupraxis verschiedene Vor- aber auch viele Nachteile, sodass man sie dort vermeidet, wo man auch andere Bauweisen wählen kann.

Die Zustandslinien von statisch unbestimmten Systemen können nicht allein mit den (bei ebenen Systemen) drei Gleichgewichtsbedingungen berechnet werden.

In einem abgeschlossenen elastischen System gilt nach Abschnitt 6.2 sowohl für Eigen- als auch für Verschiebungsarbeiten∑ A = Aa + Ai = 0.

Die Berechnung von Biegelinien von statisch unbestimmten Systemen ist – sofern man die M-Linie kennt – analog zu statisch bestimmten Systemen durchführbar. Die Gesamtbiegelinie aus vorgegebenen Einwirkungen ist die Superposition der Teilbiegelinien aus Sehnenpolygon wS, der Einzelweggrößen w0(δ,∆φ) am Hauptsystem sowie der Verkrümmungen aus der Momentenlinie (ω–Tafeln) und aus Erwärmung (ω–Tafeln).

In vollständiger Analogie zum Kraftgrößenverfaren kann man ein Berechnungsverfahren für die Momentenlinie entwickeln, das Weggrößen als Unbekannte verwendet, siehe System B in Abschnitt 13.2. Hierbei werden die Grundgleichungen wie folgt erfüllt.

Nachfolgend ist die Analogie bei der Berechnung der Momentenlinie mit dem Kraftgrößen– und dem Drehwinkelverfahren gezeigt. Ist die Momentenlinie bekannt, können Querkräfte und Normalkräfte sowie die Biegelinie in einer Nachlaufrechnung bestimmt werden. Beide Verfahren sind dual aufgebaut und unterscheiden sich in der Art und Weise, wie die Grundgleichungen erfüllt werden.

Die Bedeutung von Einflusslinien wird am Beispiel von mehrfeldrigen Straßen–oder Eisenbahnbrücken besonders deutlich. Bild 19-1 zeigt die im Zuge des Neubaus der Autobahn A45 im Jahr 1969 fertiggestellte Siegtalbrücke, die als Durchlaufträger in Spannbetonbauweise ausgeführt ist. Aufgrund der Durchlaufwirkung kann die Stützwirkung über den Pfeilern ausgenutzt werden, sodass eine Bauhöhe von < 6 m möglich ist.

Stäbe unter hoher Längsbelastung können zur Seite ausweichen, wenn die Längsbelastung bestimmte Grenzwerte erreicht oder überschreitet. Bei perfekten, ideal geraden Stäben wird dies als Knicken bezeichnet. Knicken beschreibt einen Vorgang, bei dem sich das Tragverhalten des Stabes schlagartig verändert.

Reale Tragwerke besitzen Ausdehnungen in allen drei Raumrichtungen. Wenn ein oder zwei Tragwerksabmessungen klein sind gegen die verbleibenden Abmessungen, kann man zur Vereinfachung der Berechnung Ersatzmodelle verwenden, bei denen das Trag– und Verformungsverhalten des gesamten Tragwerkkontinuums mit den Weg– und Schnittgrößen einer Referenzfläche oder –achse beschrieben wird.

Die Berechnung des Spannungs– und des Verformungszustandes statisch bestimmter und statisch unbestimmter Systeme erfolgt mit dem Ziel alle Grundgleichungen, also die Gleichgewichtbedingungen, die Werkstoffgleichungen und die Gleichungen der Kinematik zu erfüllen. In der Baustatik werden hierfür das Schnittprinzip, das Prinzip der virtuellen Verschiebungen und das Prinzip der virtuellen Kräfte sowie das Kraftgrößenverfahren und das Weggrößenverfahren eingesetzt.

Das Tragverhalten der Querschnitte wird mit Annahme eines idealisierten σ − ε−Diagramms für Baustahl nach Bild 23-1 ermittelt.

Die Berechnung der Traglast eines Stabtragwerks unter gegebenen Einwirkungen erfolgt mit den üblichen Annahmen der Stabstatik nach Theorie I. Ordnung. Zusätzlich sind hier folgende wesentliche Punkte zu beachten.

In Abschnitt 23.2 werden die in plastischen Gelenken geleisteten Dissipationsarbeiten beschrieben. Für das einführende Tragwerk nach Abschnitt 23.1 können die bei Laststeigerung geleisteten Eigenarbeiten und Verschiebungsarbeiten für jedes Lastinkrement bestimmt werden.

Nachfolgend werden die Traglasten für ausgewählte Tragwerke mit dem PvV berechnet oder eingeschrankt. Nach Berechnung der Zahl der unabhängigen kinematischen Ketten wird folgendermaßen vorgegangen.

Die direkte Berechnung der Traglast erfolgt mit dem PvV, bei dem die virtuelle Verschiebungen so gewählt werden, dass sie einem Verschiebungsfeld entsprechen, das das Tragwerk nach Erreichen der Traglast erfahren kann. Dies bedeutet, dass alle möglichen kinematischen Mechanismen untersucht werden müssen.

Bei Rahmentragwerken sind in der Regel zusätzlich zu M auch große Längskräfte N vorhanden, die die Momententragfähigkeit Mpl der Querschnitte stark beeinflussen. Der Einfluss der in üblichen Tragwerken vorhandenen Querkräfte Q auf Mpl ist dagegen vergleichsweise gering, führt aber ebenfalls zu einer Abminderung der plastischen Momente Mpl.

Bei Erreichen der Traglast sind örtlich große Dehnungen und Verkrümmungen mit ϵ, κ → ∞ vorhanden, die auf Tragwerksebene mit großen Verformungen verbunden sein können. Es ist daher wichtig, nicht nur die Traglast zu kennen, sondern auch die Verformungen im Erschöpfungszustand, da im Einzelfall Effekte aus Theorie II. Ordnung zu berücksichtigen sind und die Gebrauchstauglichkeit sicherzustellen ist.

Be– und Entlastungen sowie erneute Belastungen sind mit einer Veränderung des Tragverhaltens verbunden, da während der Lastgeschichte Plastifizierungen auftreten. Aufgrund der bleibenden Verformungen bewirken die Plastifizierungen im Einzelfall Eigenspannungszustände, die das Null–Niveau der Momentenlinien verschieben. Die Entwicklung der Eigenspannungszustände kann mithilfe von Last–Weg–Diagrammen anschaulich erklärt werden.

Beim Traglastverfahren werden die Stabquerschnitte und damit die plastischen Momente Mpl in der Regel für gegebene Lastanordnungen vorgegeben. Danach erfolgt die Berechnung der Traglast. In der Praxis ist jedoch die Höhe der Belastung und damit die Traglast gegeben. Dagegen sind die Stabquerschnitte und damit die plastischen Momente Mpl unbekannt.

Bei schlanken Tragwerkenmit großen Stabdruckkräften ist der Einfluss der Verformungen auf das Gleichgewicht nicht mehr vernachlässigbar. In diesem Fall wird die Traglast durch bisher nicht erfasste Effekte der genaueren Theorie II. Ordnung verringert. Im Vergleich mit der Theorie I. Ordnung sind die Unterschiede besonders deutlich am Last–Weg–Diagramm in Bild 32-1 erkennbar.

An statisch bestimmten Tragwerken bewirken Zwängungen aus Stützensenkungen, Lagerverdrehungen und Erwärmung keine Spannungen bzw. Schnittgrößen. Allerdings treten Verformungen auf. Bevor das letzte Gelenk plastifiziert, liegt gerade noch ein statisch bestimmtes System vor, sodass die Einwirkungen aus Zwang keinen Einfluss auf die kinematische Kette haben und damit die Traglast PT unveränderlich ist.

Im Stahlbetonbau erfolgt die Bemessung nach Bruchschnittgrößen Mu,Nu, siehe Eurocode 2 [50] . Wenn hier die Teilsicherheitsbeiwerte für die Werkstoffeigenschaften und die Einwirkungen entsprechend berücksichtigt sind, ist die Querschnittstragfähigkeit mit dem Sicherheitsnachweis für den maßgebenden Lastfall ausgeschöpft. Die Fließgrenze der Schnittgrößen ist dagegen bei den Schnittgrößen My,Ny erreicht, die den Mpl,Npl bei Stahltragwerken entsprechen.

Das Traglastverfahren wird ursprünglich für die Handrechnung und für Tragwerke mit wenigen Lastfällen entwickelt und dort eingesetzt, wo der Aufwand vertretbar ist. In der heutigen Bemessungsphilosophie sind die Tragwerke in der Regel für viele unterschiedliche Lastfälle nachzuweisen, sodass die Sinnhaftigkeit des Traglastverfahrens oft in Frage gestellt wird.