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Über dieses Buch

In diesem Buch erfahren Sie, wie die Differential- und Integralrechnung schon nach einem einfachen Einstieg mit Hilfe infinitesimaler und infiniter Zahlen und ohne Grenzwertprozesse erlernt werden kann. Sie folgen dabei den intuitiven Vorstellungen der Urväter der Analysis, allerdings in logisch einwandfreier Weise.

Dies ist möglich, seit Abraham Robinson in den 1960er Jahren gezeigt hat, dass die Menge der reellen Zahlen widerspruchsfrei um zusätzliche Elemente zur Menge der hyperreellen Zahlen erweitert werden kann.

Die hyperreellen, insbesondere die infinitesimalen Zahlen haben mehrere didaktische Vorteile: Sie sind anschaulich, der abstrakte Grenzwertformalismus entfällt, und sie stellen ein produktives Werkzeug dar, denn die Regeln können errechnet werden (und müssen nicht erst erraten und dann bewiesen werden).

Für Interessierte werden zusätzlich auch tiefer gehende Zugänge zu den hyperreellen Zahlen aufgezeigt.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Einleitung

Das Unendliche. – Schon in der Antike haben sich Philosophen mit dem Begriff des Unendlichen befasst. Nach der damals verbreiteten Lehrmeinung der Schule des Aristoteles durfte es dabei aber lediglich als potentiell unendlich gedacht werden, also im Sinne des immer weiter Zählens \(1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; \ldots \) usw. Nicht erlaubt war dagegen die Vorstellung eines aktual Unendlichen, also z. B. einer echt unendlich großen Zahl, mit der man wie gewöhnlich umgehen und rechnen kann. Wie man solche Zahlen „herstellt“, mit ihnen Differential- und Integralrechnung betreibt und damit auf Grenzwerte vollständig verzichten kann, zeigt dieses Buch.
Peter Baumann, Thomas Kirski

Kapitel 2. Hyperreelle Zahlen

In diesem Kapitel werden die hyperreellen Zahlen eingeführt, welche die reellen Zahlen u. a. um infinite und infinitesimale Zahlen erweitern (lat. infinitus – unendlich (groß), infinitesimal – unendlich klein). Sie ermöglichen es z. B., aus einer infiniten Vergrößerung eines Funktionsgraphen seine Tangenten mit höchstens infinitesimalem Fehler zu bestimmen. Vor der Erfindung der hyperreellen Zahlen konnten Fragestellungen der Analysis exakt nur mit Hilfe des Grenzwert-Formalismus behandelt werden. Heute ist es möglich, entsprechende Aufgaben reell fehlerfrei lediglich durch Rechnen mit hyperreellen Zahlen zu lösen, weil mit diesen weit über die Grenzen der reellen Zahlen hinaus gerechnet werden kann. Ein entscheidender Vorteil dabei ist, dass der aufwendige und abstrakte Grenzwertbegriff entfällt. Hyperreelle Zahlen sind daher ein geeignetes Mittel, Funktionen zu differenzieren und zu integrieren. Deshalb dienen diese Zahlen in diesem Buch als Hilfsmittel für die Differential- und Integralrechnung.
Peter Baumann, Thomas Kirski

Kapitel 3. Differentialrechnung

Die Differentialrechnung dient der Bestimmung der Tangente an eine Kurve in einem bestimmten Punkt. Beginnend mit dem Tangentenproblem von Leibniz werden die wesentlichen Regeln der Differentialrechnung mit Hilfe der hyperreellen Zahlen entwickelt. Das Kapitel schließt mit der Darstellung der ganz anderen Herangehensweise bei Newtons Fluxionsrechnung.
Peter Baumann, Thomas Kirski

Kapitel 4. Integralrechnung

Die zentrale Aufgabe der Integralrechnung ist die Bestimmung von Flächeninhalten. Ausgehend von zwei wichtigen Ergebnissen des Archimedes werden die wesentlichen Regeln der Integralrechnung mit Hilfe hyperreeller Zahlen entwickelt. Am Ende des Kapitels werden wesentliche infinitesimalmathematische Gedanken von Archimedes und Leibniz zur Integration dargestellt.
Peter Baumann, Thomas Kirski

Kapitel 5. Transzendente Funktionen

Es gibt Funktionen, die sich nicht wie die bisher betrachteten aus der Funktion \(\mathop {\text {EINS}}\) mittels rationaler Verfahren aufbauen lassen (Zum Beispiel kann man aus dem Flächeninhalt zwischen dem Graphen der \(\mathop {\text {EINS}}\)-Funktion, \(\mathop {\text {EINS}}(x)=1\), und der x-Achse bei fester unterer Grenze \(a=0\) und verschiebbarer oberer Grenze b die Identitätsfunktion \(\mathop {\text {id}}\), \(\mathop {\text {id}}(x)=x\), als Flächeninhaltsfunktion gewinnen. Auf dieselbe Weise erhält man aus \(\mathop {\text {id}}\) die quadratische Funktion mit \(f(x)=\frac{1}{2}x^{2}\). Rückgängig machen kann man dieses Vorgehen mittels der Steigung der erhaltenen Funktionsgraphen, die in diesen Fällen mit geometrischen Mitteln gefunden werden kann (siehe Beispiele 3.​2, 3.​3 und 3.​4). Diese beiden Verfahren kann man bereits Funktionsintegration bzw. -differentiation nennen. Mit den weiteren rationalen Verfahren Funktionsaddition, -multiplikation und -division sowie der Zahlenmultiplikation können dann sämtliche rationalen Funktionen konstruiert werden), sondern Hilfsmittel aus den Kapiteln Differentialrechnung und Integralrechnung verlangen. Solche Funktionen werden transzendent genannt. In diesem Kapitel werden die Logarithmus- und Exponentialfunktionen sowie die Kreisfunktionen und ihre Umkehrfunktionen behandelt. Eine dieser Funktionen, der natürliche Logarithmus, ist bereits in Abschn.  4.​3.​2.​2 eingeführt worden.
Peter Baumann, Thomas Kirski

Kapitel 6. Unendliche Reihen

Die mathematische Technik, Funktionen, die nicht mit den elementaren Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division dargestellt werden können, als (unendliche) Reihen zu schreiben, stellt von Beginn der Analysis an ein wichtiges Hilfsmittel zur Vereinfachnung von Berechnungen dar. Der erste Abschnitt dieses Kapitels zeigt Leonhard Eulers meisterhaften intuitiven Umgang damit am Beispiel seiner Überlegungen zur Bestimmung der besonderen Exponentialbasis \(\mathrm {e}\). Im zweiten Abschnitt wird deutlich, wie einfach und elegant der Umgang mit unendlichen Reihen allgemein durch die Verwendung hyperreeller Zahlen wird.
Peter Baumann, Thomas Kirski

Backmatter

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