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2021 | OriginalPaper | Buchkapitel

3. Kinetik des starren Körpers

verfasst von : Martin Prechtl

Erschienen in: Mathematische Dynamik

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

Das Modell des ideal starren Körpers (Grenzübergang des starren Massenpunktsystems, \(n\rightarrow \infty \)) lässt keinerlei Verformungen zu. Sehr wohl wird nun aber die räumliche Ausdehnung berücksichtigt. Ein freier starrer Körper besitzt im Raum sechs Freiheitsgrade: Drei Freiheitsgrade der Translation und ebenso drei der Rotation.

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Fußnoten
1
\(\mathrm {d}{\vec {L}}^{(\mathrm {a})}\) ist der Anteil am ges. Drehimpuls, den das Massenelement \(\mathrm {d}m\) beisteuert.
 
2
Das Kronecker-Symbol \(\delta _{\lambda \mu } = \left\{ \begin{array}{ccc} 1 &{} : &{} \lambda = \mu \\ 0 &{} : &{} \lambda \ne \mu \end{array}\right. \) bzw. \(\delta _{\lambda \mu } = \vec {e}_\lambda \vec {e}_\mu \) mit den Einheitsvektoren \(\vec {e}_\lambda , \vec {e}_\mu \) der kartesischen Koordinatenachsen stellt die Einheitsmatrix \(\underline{E}= (\delta _{\lambda \mu })\) in Indexschreibweise dar.
 
3
Es sei \(i,j=x;y;z\). Dann gilt \(\sum \limits _{(i)}a_i\sum \limits _{(j)}b_j = (a_x + a_y + a_z)\sum \limits _{(j)}b_j = a_x\sum \limits _{(j)}b_j + a_y\sum \limits _{(j)}b_j + a_z \sum \limits _{(j)}b_j = \sum \limits _{(j)}a_xb_j + \sum \limits _{(j)}a_yb_j + \sum \limits _{(j)}a_zb_j = \sum \limits _{(i)}(\sum \limits _{(j)}a_ib_j) = \sum \limits _{(i)}\sum \limits _{(j)}a_ib_j\), gen. Distributivgesetz.
 
4
Zur Verdeutlichung dieser Schlussfolgerung: Die Gleichung \(\sum \limits _{(j)}b_j \sum \limits _{(i)}a_{ij}=0\) mit \(i,j=1;2\) und \(b_j\ne 0\) lautet ausgeschrieben \(\sum \limits _{(j)}b_j(a_{1j}+a_{2j})=0\) bzw. \(b_1(a_{11}+a_{21})+b_2(a_{12}+a_{22})=0\). Sie ist sicher erfüllt, wenn \(a_{11}+a_{21}=0\) und \(a_{12}+a_{22}=0\), da \(b_1,b_2\ne 0\), also
$$\begin{aligned} \sum \limits _{(i)}a_{ij}=0\quad \mathrm {mit}\quad j=1;2\,. \end{aligned}$$
 
5
Invarianten sind von der Koordinatenorientierung unabhängige Größen. Die Spur einer Matrix entspricht der Summe der Hauptdiagonalenelemente: \( \mathrm {spur}(\underline{J}^{(\mathrm {O'})}) = \sum \limits _{(i)}J_{ii}\).
 
6
Gradient bzgl. \(\vec {e}_k\): \(\mathrm {grad}_{\vec {e}_k}f(\vec {e}_k)= \nabla _{\vec {e}_k}f(\vec {e}_k)= \big (\frac{\partial f(\vec {e}_k)}{\partial u_x};\frac{\partial f(\vec {e}_k)}{\partial u_y};\frac{\partial f(\vec {e}_k)}{\partial u_z}\big )^T\)
 
7
Spatprodukt: \((\vec {a},\vec {b},\vec {c}\,) {\mathop {=}\limits ^{\mathrm {def.}}} \vec {a} (\vec {b} \times \vec {c}\,)\); es gilt \(\vec {a} (\vec {b} \times \vec {c}\,) = \vec {b} (\vec {c} \times \vec {a}\,)\) [6].
 
8
Für den Schwerpunkt S als Bezugspunkt gilt (3.70) übrigens unverändert, die skalare Ausformulierung des Momentensatzes bzgl. S wäre schließlich identisch.
 
Metadaten
Titel
Kinetik des starren Körpers
verfasst von
Martin Prechtl
Copyright-Jahr
2021
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Buch
Mathematische Dynamik

Print ISBN: 978-3-662-62106-6

Electronic ISBN: 978-3-662-62107-3

Copyright-Jahr: 2021

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-62107-3_3