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Erschienen in:
2022 | OriginalPaper | Buchkapitel
82. Laurentreihen
verfasst von : Prof. Dr. Christian Karpfinger
Erschienen in: Höhere Mathematik in Rezepten
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
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Zusammenfassung
Wir verallgemeinern Potenzreihen zu Laurentreihen, indem wir auch negative Exponenten zulassen, Das machen wir nicht willkürlich, es gibt einen engen Zusammenhang mit den dadurch beschriebenen Funktionen: Potenzreihen beschreiben Funktionen, die auf einem Kreis um \(z_0\) holomorph sind, Laurentreihen beschreiben Funktionen, die auf einem Kreisring um \(z_0\) holomorph sind. Mit der Laurentreihenentwicklung erhalten wir eine Reihendarstellung von Funktionen mit Singularitäten. Die wesentliche Anwendung dieser Entwicklung ist der Residuenkalkül, den wir im nächsten Kapitel vorstellen.
$$\begin{aligned} \sum _{k= 0}^\infty c_k (z-z_0)^k \ \longrightarrow \ \sum _{k= -\infty }^\infty c_k (z-z_0)^k. \end{aligned}$$