Preise in Finanzmärkten

Replikation und verallgemeinerte Diskontierung

verfasst von: Jürgen Kremer

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Im Buch wird die Replikationsstrategie zur Bewertung zustandsabhängiger Zahlungsströme dargestellt, wobei der Schwerpunkt auf zeitdiskrete Modelle gelegt wird. Eine Besonderheit des Textes besteht darin, dass die Preisfindung im ersten Teil als verallgemeinerte Diskontierung algebraisch, ohne Verwendung von Wahrscheinlichkeitstheorie, formuliert wird. Im zweiten Teil wird das Bewertungsverfahren ein weiteres Mal, aber diesmal mit Methoden der diskreten stochastischen Analysis, hergeleitet. Schließlich wird gezeigt, dass sich die wahrscheinlichkeitstheoretische Formulierung der Replikationsstrategie in die stetige Finanzmathematik übertragen lässt und auch hier als verallgemeinerte Diskontierung interpretiert werden kann.

Am Ende jedes Kapitels finden Sie – neben passenden Übungsaufgaben – einen Abschnitt Das Wichtigste im Überblick, in dem die wesentlichen Begriffsbildungen, Konzepte und Resultate des jeweiligen Kapitels in knapper Form zusammengestellt wurden. Zu allen Übungsaufgaben werden vollständige Musterlösungen angeboten. Darüber hinaus steht Ihnen auf YouTube eine Playlist mit Lehrvideos zur Verfügung.

Für die zweite Auflage wurde der Text an zahlreichen Stellen im Detail verbessert und es wurden neue Übungsaufgaben aufgenommen. Darüber hinaus wurde der Text um Abschnitte zur Bewertung von Aktienanleihen und Barrier-Optionen ergänzt. Die in der ersten Auflage angegebenen Bewertungsalgorithmen für europäische und amerikanische Call- und Put-Optionen mit und ohne Dividendenzahlungen des Basiswerts wurden überarbeitet, effizienter gestaltet und als MATLAB- bzw. Octave-Programme umgeschrieben.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Replikation und verallgemeinerte Diskontierung

Frontmatter

Kapitel 1. Ein-Perioden-Modelle

Zusammenfassung

Mithilfe der in ersten Kapitel definierten Ein-Perioden-Modelle werden Finanzmärkte modelliert, für deren zukünftige Entwicklung ein überschaubares Maß an Unsicherheit zugelassen wird. Zunächst gibt es bei diesen Modellen nur die beiden mit 0 und 1 bezeichneten Zeitpunkte. Dabei kennzeichnet 0 den aktuellen und 1 einen zukünftigen Zeitpunkt. Darüber hinaus wird angenommen, dass es nur endlich viele Möglichkeiten gibt, wie sich der modellierte Finanzmarkt vom Zeitpunkt 0 bis zum zukünftigen Zeitpunkt 1 entwickeln kann. Bezeichnet c eine zukünftige zustandsabhängige Auszahlung, etwa die Auszahlung einer Option zum zukünftigen Zeitpunkt, dann lautet die zentrale Fragestellung, wie zum aktuellen Zeitpunkt 0 ein sinnvoller Preis \(c_{0}\) für c definiert werden kann. Die grundlegende Bewertungsstrategie besteht darin, die Auszahlung c mithilfe eines Portfolios nachzubilden, sodass der Wert des Portfolios zum zukünftigen Zeitpunkt mit dem Wert von c in jedem modellierten Szenario übereinstimmt. Der Preis \(c_{0}\) von c ist dann definitionsgemäß der aktuelle Preis dieses Portfolios.

Jürgen Kremer

Kapitel 2. Mehr-Perioden-Modelle

Zusammenfassung

Die auf Replikation basierende Bewertungsstrategie für zukünftige zustandsabhängige Auszahlungen lässt sich für Ein- und Mehr-Perioden-Modelle auch als verallgemeinerte Diskontierung formulieren. Anders als bei den Ein-Perioden-Modellen, bei denen zur Replikation einer Endauszahlung lediglich ein Replikationsportfolio bestimmt werden muss, erfordert die Replikation einer Endauszahlung in Mehr-Perioden-Modellen die Berechnung einer replizierenden Handelsstrategie. Dabei muss das Anfangsportfolio in der Regel in jedem Knoten zu jedem Zeitpunkt vor dem Endzeitpunkt umgeschichtet werden.

Jürgen Kremer

Kapitel 3. Optionen, Futures und andere Derivate

Zusammenfassung

Für Call- und Put-Optionen vom europäischen und amerikanischen Typ mit und ohne Dividendenzahlungen der Aktie werden Bewertungsformeln bzw. Bewertungsverfahren vorgestellt und es wird gezeigt, dass die Binomialbaumformeln für europäische Call- und Put-Optionen für große Periodenzahlen gegen die Black-Scholes-Formeln konvergieren. Für die angegebenen Optionstypen sowie für die Black-Scholes-Formeln werden vollständige Bewertungsprogramme in MATLAB/Octave angegeben. Darüber hinaus werden Bewertungsverfahren für weitere Derivate, wie Forward-Start-Optionen, Anleihen, Aktienanleihen, Barrier-Optionen und Futures, diskutiert.

Jürgen Kremer

Stochastische Analysis und verallgemeinerte Diskontierung

Frontmatter

Kapitel 4. Diskrete stochastische Analysis

Zusammenfassung

Hier werden grundlegende Begriffsbildungen und Zusammenhänge der diskreten stochastischen Analysis vorgestellt: Bedingte Erwartung und Martingale, der Satz von Doob, das diskrete stochastische Integral, der Martingal-Darstellungssatz und der Satz von Girsanov.

Jürgen Kremer

Kapitel 5. Diskrete stochastische Finanzmathematik

Zusammenfassung

In diesem Kapitel wird eine binomiale Filtration mit einem festverzinslichen Finanzinstrument und mit einer Aktie betrachtet. Dann lässt sich unter milden Voraussetzungen mithilfe des Satzes von Girsanov ein Wahrscheinlichkeitsmaß so konstruieren, dass der Replikationspreis einer zustandsabhängigen Auszahlung als diskontierter Erwartungswert dieser Auszahlung bezüglich des konstruierten Wahrscheinlichkeitsmaßes geschrieben werden kann. Dass es sich bei diesem abdiskontierten Erwartungswert tatsächlich um den Replikationspreis der Auszahlung handelt, wird mithilfe des Martingal-Darstellungssatzes nachgewiesen. Replikationspreise werden also in diesem Kapitel mithilfe wahrscheinlichkeitstheoretischer Methoden der zeitdiskreten Stochastischen Analysis bestimmt, und dies bietet einen gegenüber den algebraischen Methoden des ersten Teils des Buches alternativen Zugang zum Bewertungsproblem. Die große Bedeutung der wahrscheinlichkeitstheoretischen Bewertungsstrategie besteht darin, dass sich dieser Zugang auf die Bewertung in stetiger Zeit übertragen lässt.

Jürgen Kremer

Kapitel 6. Einführung in die stetige Finanzmathematik

Zusammenfassung

Die Bewertung zustandsabhängiger Auszahlungsprofile in stetiger Zeit erfolgt nach derselben Strategie, wie sie in diskreter Zeit dargestellt wurde. Allerdings ist der mathematische Aufwand in stetiger Zeit ungleich höher als der in diskreter Zeit. Im vorliegenden Kapitel wird ein Überblick geboten.

Jürgen Kremer

Kapitel 7. Lösungen der Aufgaben

Zusammenfassung

Da die Matrix D regulär ist, ist auch \(D^{\textrm{t}}\) regulär. Insbesondere ist \(D^{\textrm{t}}\) also surjektiv, und daher ist das Modell nach Definition 1.14 vollständig.

Jürgen Kremer

Backmatter

Titel: Preise in Finanzmärkten
verfasst von: Jürgen Kremer
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-662-67148-1
Print ISBN: 978-3-662-67147-4
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-67148-1