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Erschienen in:

2013 | OriginalPaper | Buchkapitel

6. Discrete Random Variables and Probability Distributions

verfasst von : Cheng-Few Lee, John C. Lee, Alice C. Lee

Erschienen in: Statistics for Business and Financial Economics

Verlag: Springer New York

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Abstract

In Chaps. 2, 3, and 4, we explored descriptive statistical measures, and we examined probability concepts and techniques in Chap. 5. Here we will build on this foundation as we establish the definitions of discrete and continuous random variables and discuss important discrete probability distributions in terms of specific numerical outcomes.

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From Eq. 6.4, the variance of X is

$$ \begin{array}{lll} {\sigma^2} & =\sum\limits_{i=1}^N {\left( {x_i^2-2\mu {x_i}+{\mu^2}} \right)} P\left( {{x_i}} \right) \\& =\sum\limits_{i=1}^N {x_i^2P({x_i})-2\mu } \sum\limits_{i=1}^N {{x_i}P({x_i})} +{\mu^2}\sum\limits_{i=1}^N {P({x_i})}\end{array} $$

Because $ \sum\limits_{i=1}^N {{x_i}P({x_i})} =\mu $ and $ \sum\limits_{i=1}^N {P({x_i})=1} $,

$$ \begin{array}{lll} {\sigma^2} & =\sum\limits_{i=1}^N {x_i^2P({x_i})} -2{\mu^2}+{\mu^2}=\sum\limits_{i=1}^N {x_i^2P({x_i})} -{\mu^2} \\& =\sum\limits_{i=1}^N {x_i^2} P({x_i})-{\mu^2}.\end{array}$$

Assume that the price movement of JNJ stock today is completely independent of its movement in the past. See Example 6.23 in Appendix 2 for further discussion.

Refer to Table A1 in Appendix A at the end of the book.

In that case, the probability on the first trial, P, is 50/800 = .0625. On the second trial, p is either 50/799 = .06258 (if the first chip was not defective) or 49/799 = .06133 (if the first chip was defective).

The approximation is valid only when N is large. Usually we require N/n ≥ 20.

This example is based on the material discussed in J. H. Miller, “Store Satisfaction and Aspiration Theory,” Journal of Retailing, 52 (Fall 1976), 65–84.

$$ \begin{array}{lll} \mathrm{ Cov}(X,Y) & =E\left[ {\left( {X-{\mu_X}} \right)\left( {Y-{\mu_Y}} \right)} \right] \\& =E\left( {XY-Y{\mu_X}-X{\mu_Y}+{\mu_X}{\mu_Y}} \right) \\& =E(XY)-{\mu_X}E(Y)-{\mu_Y}E(X)+{\mu_X}{\mu_Y} \\& =E(XY)-{\mu_X}{\mu_Y}-{\mu_Y}{\mu_X}+{\mu_X}{\mu_Y}=E(XY)-{\mu_X}{\mu_Y}\end{array} $$

See Appendix 1 in Chap. 13 for further discussion about how to obtain optimal weights for a portfolio.

Independent variables imply uncorrelated variables, so Eq. 6.31 also holds for independent random variables. Applications of Eqs. 6.30 and 6.31 will be discussed in Appendix 1 and Sect. 21.8 as well as in Appendix 3 of Chap. 21.

To sell the call option means to write the call option. If a person writes a call option on stock A, then he or she is obliged to sell at exercise price X during the contract period.

This section is essentially based on Cheng F. Lee, Joseph E. Finnerty, and Donald H. Wort (1990) Security Analysis and Portfolio Management (Glenview. III.: Scott. Foresman), Chapter 15. Copyright © 1990 by Cheng F. Lee. Joseph E. Finnerty, and Donald H. Wort. Reprinted by permission of Harper Collins Publishers.

Note that this is not exactly a cumulative binomial distribution as defined by a statistician. Strictly speaking,

$$ 1-[]=\sum\limits_{k=0}^{m-1 } {\frac{n! }{{k!\left( {n-k} \right)!}}} {p^k}{{\left( {1-p} \right)}^{m-k }} $$

is a cumulative binomial distribution.

Because u < R < d,

$$ (u/R)P=\frac{1-d/R }{1-d/u }<1 $$

Titel: Discrete Random Variables and Probability Distributions
verfasst von: Cheng-Few Lee
John C. Lee
Alice C. Lee
Verlag: Springer New York
Buch: Statistics for Business and Financial Economics
Print ISBN: 978-1-4614-5896-8

Electronic ISBN: 978-1-4614-5897-5

Copyright-Jahr: 2013
DOI: https://doi.org/10.1007/978-1-4614-5897-5_6

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