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Erschienen in:
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2013 | OriginalPaper | Buchkapitel

6. Differentiation

verfasst von : Donald L. Cohn

Erschienen in: Measure Theory

Verlag: Springer New York

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Abstract

In Chapter 6 we look at two aspects of the relationship between differentiation and integration. First, in Section 6.1, we look at changes of variables in integrals on Euclidean spaces. Such changes of variables occur, for example, when one evaluates an integral over a region in the plane by converting to polar coordinates. Then, in Sections 6.2 and 6.3, we look at some deeper aspects of differentiation theory, including the almost everywhere differentiability of monotone functions and of indefinite integrals and the relationship between Radon-Nikodym derivatives and differentiation theory. The Vitali covering theorem is an important tool for this. The discussion of differentiation theory will be resumed when we discuss the Henstock-Kurzweil integral in Appendix H.

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Fußnoten
1
Since T  − 1(U) and T(U) are open and hence Borel whenever U is a open subset of \({\mathbb{R}}^{d}\), the measurability of T and T  − 1 follows from Proposition 2.6.2.
 
2
See Bartle [4], Hoffman [60], Loomis and Sternberg [85], Rudin [104], or Thomson, Bruckner, and Bruckner [117]​.
 
3
Here we are dealing with the components of the matrices of these operators with respect to the usual ordered basis of \({\mathbb{R}}^{d}\).
 
4
The symbols x j and x 0, j in (11) refer to the jth components of the vectors x and x 0.
 
5
Thus μ n, a  ≪ λ and μ n, s  ⊥ λ.
 
6
It is easy to modify the definition of absolute continuity for functions on \(\mathbb{R}\) to make it apply to functions on [a, b].
 
7
Some authors use the condition \(\lim _{h\rightarrow {0}^{+}} \frac{1} {h}\int _{0}^{h}\vert f(x + t) + f(x - t) - 2f(x)\vert \,dt = 0\) as the defining condition for being a Lebesgue point; of course each point that satisfies (2) is also a Lebesgue point in this sense.
 
Literatur
4.
Bartle, R.G.: The Elements of Real Analysis, 2nd edn. Wiley, New York (1976)MATH
21.
Bruckner, A.M.: Differentiation of integrals. Herbert Ellsworth Slaught Memorial Papers. Amer. Math. Monthly 78 (Suppl.) (1971)
22.
Bruckner, A.M.: Differentiation of Real Functions. Lecture Notes in Mathematics, vol. 659. Springer, Berlin (1978)
33.
de Guzmán, M.: Differentiation of Integrals in ℝ n . Lecture Notes in Mathematics, vol. 481. Springer, Berlin (1975)
53.
Halmos, P.R.: Finite-Dimensional Vector Spaces, 2nd edn. Van Nostrand, Princeton (1958). Reprinted by Springer, 1974
56.
Hayes, C.A., Pauc, C.Y.: Derivation and Martingales. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 49. Springer, Berlin (1970)
60.
Hoffman, K.: Analysis in Euclidean Space. Prentice-Hall, Englewood Cliffs (1975). Reprinted by Dover, 2007
61.
Hoffman, K.M., Kunze, R.: Linear Algebra. Prentice-Hall, Englewood Cliffs (1971)MATH
74.
Kölzow, D.: Differentiation von Massen. Lecture Notes in Mathematics, vol. 65. Springer, Berlin (1968)
85.
Loomis, L.H., Sternberg, S.: Advanced Calculus. Addison-Wesley, Reading (1968)MATH
92.
Munroe, M.E.: Measure and Integration, 2nd edn. Addison-Wesley, Reading (1971)MATH
99.
Riesz, F., Sz-Nagy, B.: Functional Analysis. Ungar, New York (1955). Reprinted by Dover, 1990
104.
Rudin, W.: Principles of Mathematical Analysis, 3rd edn. McGraw-Hill, New York (1976)MATH
105.
Rudin, W.: Real and Complex Analysis, 2nd edn. McGraw-Hill, New York (1974)MATH
106.
Saks, S.: Theory of the Integral, 2nd revised edn. Dover, New York (1964). Reprint of 2nd revised edition, 1937
117.
Thomson, B.S., Bruckner, J.B., Bruckner, A.M.: Elementary Real Analysis, 2nd edn. ClassicalRealAnalysis.com (2008)
123.
127.
Wheeden, R.L., Zygmund, A.: Measure and Integral. Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, vol. 43. Marcel Dekker, New York (1977)
Metadaten
Titel
Differentiation
verfasst von
Donald L. Cohn
Copyright-Jahr
2013
Verlag
Springer New York
Buch
Measure Theory

Print ISBN: 978-1-4614-6955-1

Electronic ISBN: 978-1-4614-6956-8

Copyright-Jahr: 2013

DOI
https://doi.org/10.1007/978-1-4614-6956-8_6

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