Keine Probleme mit Inversen Problemen

Dieses Kapitel knüpft nahtlos an den Abschnitt 1.5 an. Wir gehen hier der Frage nach, wann das Problem (A,X,Y) schlecht gestellt ist. Wir interessieren uns insbesondere für Kriterien an die Abbildung A, die die Schlechtgestelltheit implizieren. In der Allgemeinheit von Definition 1.5.2 wird uns das nicht gelingen, denn topologische Räume weisen zu wenig Struktur auf. Daher werden wir unsere Untersuchungen einschränken auf Hilberträume X und Y sowie auf die stetigen linearen Abbildungen zwischen ihnen. Im Weiteren sei

Wir wollen eine lineare Operatorgleichung lösen, wobei uns nur verrauschte Daten g ^ε mit zur Verfügung stehen. Wir nennen ε > 0 den Rauschpegel.

Die Tikhonov—Phillips-Regularisierung haben wir schon in Beispiel 3.3.11 in einiger Ausführlichkeit kennen gelernt. Für y ∈ Y und t > 0 erhalten wir R_ty durch Lösen der stabilisierten Normalgleichung Den zugrunde liegenden Filter F _t (λ) = 1/(λ + t) haben wir auch schon studiert und gesehen, dass er die Qualifikation 2 besitzt.

Das direkte und das duale direkte Problem, d.h. die Auswertungen von Ax für x ∈ X und A*y für y ∈ Y, sind stabil und meist einfach zu realisieren. Daher eignen sich iterative Methoden, angewandt auf die Normalgleichung, zur Regularisierung von A⁺. Iterative Verfahren produzieren eine Folge von Approximationen an f⁺. Liegen die Daten im Definitionsbereich von A⁺, dann konvergiert die Folge der Iterierten gegen f⁺. Bei gestörten Daten beobachten wir eine Semikonvergenz: Der Fehler nimmt mit dem Iterationsindex zuerst ab, um dann wieder anzusteigen. Das erinnert an das Verhalten des Rekonstruktionsfehlers, skizziert in Bild 3.1. In der Tat übernimmt der Iterationsindex die Rolle des Regularisierungsparameters. Eine Parameterwahl ist in diesem Rahmen eine Stoppregel für die Iteration.

Grau, teurer Freund, ist alle Theorie, und grün des Lebens goldner Baum. Mit dieser Metapher foppt Mephisto den wissbegierigen Schüler in Goethes „Faust I“, um ihm das Studieren zu verleiden. Vielleicht sind Sie geneigt, Mephisto zuzustimmen, haben wir uns doch bisher hauptsächlich der Theorie inverser Probleme gewidmet.

Die Theorie zu linearen schlecht gestellten Problemen ist recht übersichtlich und nahezu vollständig, wie wir uns in den vorausgegangenen Kapiteln überzeugen konnten. Leider sind viele Zusammenhänge in Natur, Technik und Wirtschaft nichtlinear. Lineare Modelle hierfür beschreiben die Realität meist sehr eingeschränkt; daher muss mit nichtlinearen Modellen gearbeitet werden.

Die Funktionalanalysis ist das mathematische Fundament für dieses Buch. Einige ihrer wichtigsten Begriffe und Konzepte stellen wir in diesem Anhang zusammen. Auf Beweise verzichten wir weitgehend und verweisen hierzu auf Standardliteratur, z.B. Heuser [63] sowie Meise und Vogt [89].