Gewöhnliche und Operator-Differentialgleichungen

Bevor wir uns in den folgenden Abschnitten mit der Lösbarkeit von Randwertaufgaben für gewöhnliche Differentialgleichungen beschäftigen, stellen wir einige Probleme vor, deren mathematische Beschreibung auf Randwertaufgaben führt.

Oftmals sind die Anforderungen an eine klassische Lösung — bei einer Differentialgleichung zweiter Ordnung also die zweifache stetige Differenzierbarkeit im Innern des Intervalls — unrealistisch. Zudem stammen viele Differentialgleichungen ursprünglich von einer integralen Beziehung (Erhaltungsgesetz, Variationsprinzip) ab, so dass weit geringere Regularitätsforderungen zu erfüllen sind. Hinzu kommt, dass gerade bei nichtlinearen Differentialgleichungen Lösungen im klassischen Sinne nicht zu existieren brauchen, wohl aber Lösungen in einem weiter gefassten Sinne existieren. Schließlich finden sich in der Praxis oft Probleme, in denen die gegebenen Daten (Koeffizienten, rechte Seite, Randbedingungen) womöglich unstetig sind, was im Allgemeinen ebenso eine klassische Lösung nicht zulässt.

Nachstehend stellen wir ein konstruktives Verfahren vor, welches zur näherungsweisen Lösung des Problems 3.3.2 angewandt werden kann Das nach Galerkin¹ benannte Verfahren (in der Literatur finden sich auch die Bezeichnungen Ritz²-, Petrow-, Bubnow- und Faedo-Galerkin- für das gleiche und ähnliche Verfahren) dient oftmals zum Beweis der Existenz von Lösungen eines vorgelegten Problems und stellt zudem die analytische Grundlage der aus der Numerischen Mathematik bekannten Finite-Elemente-Methode dar.

In den folgenden Abschnitten sollen instationäre (zeitabhängige) Prozesse, etwa solche, die in einem räumlichen Gebiet ablaufen, beschrieben werden.

In diesem Abschnitt wollen wir Anfangswertprobleme der Gestalt betrachten, wobei u : [0, T] → X die gesuchte Funktion mit dem Anfangswert u₀ ∈ X zur Zeit t₀ ∈ [0, T] und f: [0, T] × X → X eine vorgegebene rechte Seite seien. Dabei sei (X, || · ||) ein Banach-Raum Statt des Intervalls [0, T] könnte auch jedes andere abgeschlossene und beschränkte Zeitintervall betrachtet werden. Es sei betont, dass auch der Fall t₀ = T zugelassen ist. Gleichwohl werden wir, der Einfachheit halber, auch dann von einem Anfangswertproblem sprechen, wenn t₀ ≠ 0. Viele Autoren bezeichnen das Anfangswertproblem für eine gewöhnliche Operator-Differentialgleichung auch als abstraktes Cauchy-Problem.

Im Folgenden sei wieder ein endliches Zeitintervall [0, T] mit T > 0 vorgegeben, und es bezeichne (X, || · ||) einen reellen Banach-Raum sowie (X*, || · ||_*) dessen Dualraum. In Hinblick auf Satz 7.1.20 wollen wir annehmen, X sei reflexiv.

Beweise Lemma 7.1.1. (Hinweis: Der Beweis wird wie für den Fall Χ = ℝ geführt.)