Algebra

Frontmatter

§ 1. Konstruktion mit Zirkel und Lineal

Zusammenfassung

Dieses Thema ist durch seine klassische Herkunft aus der griechischen Mathematik des Altertums und durch die Beiträge bedeutender Mathematiker geheiligt, wenn es auch in der heutigen Forschung kaum noch eine Rolle spielt. Für den historischen Ursprung der Konstruktionsprobleme siehe Tropfke [T4]. Wir wünschen uns eine Methode, die es ermöglichen soll, von jeder geforderten Konstruktionsaufgabe mit Zirkel und Lineal zu entscheiden, ob sie durchführbar ist oder nicht. Noch lieber wäre es uns, wenn uns die Methode im Fall einer positiven Antwort auch gleich ein Verfahren zur Lösung der Aufgabe anbieten würde, denn Konstruktionsaufgaben können sehr vertrackt sein. Zunächst werden wir exakt beschreiben, was wir unter Konstruktion mit Zirkel und Lineal verstehen wollen. Dann werden wir das Konstruktionsproblem in eine Aufgabe der Algebra verwandeln, die wir zu lösen hoffen, wenn nur die Algebra weit genug entwickelt ist.

Ernst Kunz

§ 2. Auflösung algebraischer Gleichungen

Zusammenfassung

Das Wort “Algebra” stammt aus dem Arabischen und bedeutet so etwas wie “Auflösen von Gleichungen” (Tropfke [T₁],S.3). Es soll hier ein kurzer Überblick über die Gebiete der Mathematik gegeben werden, die sich mit den Lösungen algebraischer Gleichungen und Gleichungssysteme befassen, und ein Ausblick, was davon in diesem Text behandelt werden soll. Im Gegensatz zur Konstruktion mit Zirkel und Lineal ist die Theorie der algebraischen Gleichungen ein höchst lebendiges Gebiet der aktuellen Forschung.

Ernst Kunz

§ 3. Algebraische und transzendente Körpererweiterungen

Zusammenfassung

Es beginnt nun der systematische Teil des Textes mit den ersten Aussagen der “Körpertheorie”.

Ernst Kunz

§ 4. Teilbarkeit in Ringen

Zusammenfassung

Am Ende von § 3 hat sich gezeigt, daß wir uns mit der Teilbarkeit in Polynomringen befassen müssen. Wir werden gleich allgemeiner die Teilbarkeitstheorie in beliebigen Ringen entwickeln, da die Betrachtungen über Polynomringe ohnehin aus diesen herausführen und weil die Teilbarkeitstheorie zum grundlegenden Rüstzeug der Algebra und Zahlentheorie gehört. Das Ziel ist es, den “Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie” , den Satz von der eindeutigen Primzahlzerlegung in Z, auf weitere Ringe zu verallgemeinern.

Ernst Kunz

§ 5. Irreduzibilitätskriterien

Zusammenfassung

Im allgemeinen ist es nicht leicht festzustellen, ob ein Polynom f aus dem Polynomring K[X] über einem Körper K irreduzibel ist, auch nicht, ob eine Zahl Primzahl ist, wenn die Zahl sehr groß ist. Manchmal liegt folgende Situation vor: f hat Koeffizienten aus einem faktoriellen Ring R, von dem K der Quotientenkörper ist. Gelingt es, die Irreduzibilität von f in R[X] zu beweisen, so ergibt sie sich auch in K[X] nach einem Satz von Gauß (5.4). Wir wollen in diesem Paragraphen nach Methoden suchen, die Irreduzibilität von Polynomen aus R[X] (R faktoriell) zu beweisen, und dann den Gaußschen Satz herleiten.

Ernst Kunz

§ 6. Ideale und Restklassenringe

Zusammenfassung

Die Theorie der Restklassenringe ist äquivalent zu der der “Kongruenzen nach Idealen”. Im Ring Z sind dies die Kongruenzen nach ganzen Zahlen und hier berühren sich Algebra und elementare Zahlentheorie eng. Viele Körper entstehen als Restklassenringe gut verstandener Ringe, daher ist die Restklassenbildung auch grundlegend für die Körpertheorie. Ein weiterer wichtiger Aspekt ist die in § 5 angesprochene Methode, Polynome durch Reduktion ihrer Koeffizienten auf Irreduziblität zu untersuchen.

Ernst Kunz

§ 7. Fortsetzung der Körpertheorie

Zusammenfassung

Wir wollen jetzt die in § 3 begonnene Körpertheorie weiterführen und dabei die in § 6 gewonnenen Erkenntnisse über Restklassenringe verwenden. Zunächst werden einige schon in § 3 bewiesene Tatsachen in etwas allgemeinerem Rahmen wiederholt, da sich dies im Zusammenhang mit dem Hilbertschen Nullstellensatz auszahlt. In einem systematischen Aufbau der Algebra nach dem Schema “Gruppen-Ringe-Körper” kann man die Körpertheorie gleich so wie hier beginnen. Ein weiterer Hauptsatz des Paragraphen ist ein Satz von Steinitz, welcher besagt, daß jeder Körper K einen algebraischen Abschluß besitzt, in dem alle Polynome aus K[X] in Linearfaktoren zerfallen, der also alle Lösungen algebraischer Gleichungen über K enthält. Diese Lösungsmengen zu verstehen ist ja unser in § 2 erklärtes Ziel.

Ernst Kunz

§ 8. Separable und inseparable algebraische Körpererweiterungen

Zusammenfassung

Wir beginnen nun mit der detaillierten Untersuchung endlicher Körpererweiterungen und befassen uns zunächst mit dem Phänomen der Inseparabilität. Dieses entsteht dadurch, daß ein irreduzibles Polynom mehrfache Wurzeln (im algebraischen Abschluß seines Koeffizientenkörpers) besitzen kann. Inseparabilität ist jedoch nur bei Körpern der Charakteristik p > 0 möglich. Aber selbst, wenn wir uns nur für algebraische Gleichungen über Körpern der Charakteristik 0 interessieren, so führt doch die Reduktion der Koeffizienten einer Gleichung häufig zur Betrachtung von Gleichungen über Körpern von Primzahlcharakteristik.

Ernst Kunz

§ 9. Normale und galoissche Körpererweiterungen

Zusammenfassung

Die Grundidee der Galoistheorie besteht darin, algebraische Körpererweiterungen L/K mit Hilfe der Gruppe der K-Automorphismen von L zu untersuchen. Algebraische Gleichungen f = 0 werden studiert, indem man den Zerfällungskörper des Polynoms f bildet und die Automorphismengruppe des Zerfällungskörpers heranzieht.

Ernst Kunz

§ 10. Der Hauptsatz der Galoistheorie

Zusammenfassung

Der Hauptsatz gibt für Galoiserweiterimgen L/K eine Bijektion zwischen der Menge der Zwischenkörper von L/K und der Menge der Untergruppen der Galoisgruppe G(L/K). Eine gebräuchliche Beweismethode geht auf E. Artin [A] zurück. Aus den Anfangsparagraphen wissen wir, daß die genaue Kenntnis der Zwischenkörper einer algebraischen Körpererweiterung z.B. für die Lösung von Konstruktionsproblemen mit Zirkel und Lineal und die Frage nach der Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen durch Radikale bedeutsam ist.

Ernst Kunz

§11. Gruppentheorie

Zusammenfassung

Bisher wurden aus der Gruppentheorie nur Grundbegriffe wie “Untergruppe”, “Normalteiler”, “Gruppenhomomorphismus”, “Gruppenordnung” und “direktes Produkt” benutzt. An speziellen Gruppen trat nur die Permutationsgruppe n-ten Grades (symmetrische Gruppe) auf, ohne daß weitergehende Kenntnisse über diese Gruppe vorausgesetzt werden mußten. Da die Galoistheorie Fragen der Körpertheorie auf solche über Gruppen zurückführt, ist jetzt natürlich ein etwas weiterreichender Einstieg in die Gruppentheorie erforderlich. Die Übungsaufgaben l)-8) enthalten Tatsachen der Gruppentheorie, die wir im Text stillschweigend als schon bekannt verwenden wollen.

Ernst Kunz

§ 12. Fortsetzung der Galoistheorie

Zusammenfassung

Wir kommen jetzt zu einigen Aussagen der Galoistheorie, die stärkeren Gebrauch von der Gruppentheorie machen. Beispiele für die Bestimmung der Galoisgruppe und ein hinreichendes Kriterium für Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal folgen.

Ernst Kunz

§ 13. Einheitswurzelkörper (Kreisteilungskörper)

Zusammenfassung

Dies sind die Körper, die aus einem Grundkörper durch Adjunktion von Einheitswurzeln entstehen. Für den Grundkörper Q sind sie für die Konstruktion von regulären n-Ecken (Kreisteilung) von Bedeutung, worauf schon vielfach hingewiesen wurde. Sie spielen auch eine sehr wichtige Rolle in der Zahlentheorie, wo sie Gegenstand eingehender Untersuchungen sind.

Ernst Kunz

§ 14. Endliche Körper (Galois-Felder)

Zusammenfassung

Es folgt eine kurze Zusammenstellung der wichtigsten Aussagen über endliche Körper. Sie ergeben sich sehr schnell aus den bisherigen Sätzen. Zahlreiche weitere Tatsachen kann man den Übungsaufgaben entnehmen.

Ernst Kunz

§ 15. Auflösung algebraischer Gleichungen durch Radikale

Zusammenfassung

In diesem abschließenden Paragraphen wird noch gezeigt, daß die auflösbaren Polynome gerade die sind, die eine Wurzel in einer Radikalerweiterung besitzen. Es schließt sich damit der Kreis, der in § 2 seinen Anfang nahm.

Ernst Kunz

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