Die lineare Elastizitätstheorie kann auf eine mehr als 300 jährige Geschichte zurückblicken: Im Jahre 1678 machte HOOKE die Feststellung “ut tensio sic vis”, die er bereits zwei Jahre zuvor in Form eines Anagramms (ceiiinosssttuv) traf. Danach sind Längenänderung und Last proportional. Die geschichtliche Weiterentwicklung kann man beispielsweise in [1 bis 5] verfolgen.
In der Kontinuumsmechanik werden skalare Funktionen wie Dichte und Temperatur, vektorwertige Funktionen wie Verschiebung, Geschwindigkeit und Beschleunigung sowie tensorwertige Funktionen zweiter Stufe (Verzerrungstensoren, Spannungstensoren) betrachtet. Die genannten Funktionen sind Feldgrößen, die ortsabhängig sind und im instationären Fall auch von der Zeit abhängen. Von diesen Funktionen wird Stetigkeit und stetige Differenzierbarkeit (genügend oft) in allen Variablen vorausgesetzt.
Die Erfahrung lehrt, daß sich verschiedenen Stoffe unter denselben äußeren Kraftfeldern unterschiedlich verformen. Mithin können Bilanzgleichungen als Differential- oder Funktionalgleichungen noch nicht ausreichen, den Bewegungszustand eines Kontinuums zu bestimmen. Die fehlenden Gleichungen sind Materialgleichungen (“constitutive equations”), die bei rein mechanischer Beschreibung des Theologischen Verhaltens von Stoffen einen Zusammenhang zwischen den im Kontinuum wirkenden Spannungen und Verzerrungen bzw. Verzerrungsgeschwindigkeiten darstellen.
Zur Beschreibung der Grundlagen der Kontinuumsmechanik (Kapitel B) und zur Formulierung von Stoffgleichungen (Kapitel C) wurden rechtwinklige kartesische Koordinaten benutzt. Es kann jedoch von Vorteil sein, auf krummlinige Koordinaten überzugehen, auch wenn auf den ersten Blick die Überschaubarkeit der Zusammenhänge erschwert wird. So bieten sich krummlinige Koordinaten für viele Anwendungen aus dem Ingenieurbereich an, z.B. bei der Behandlung technischer Randwertprobleme zur bequemeren Erfassung der Randbedingungen. Zur Untersuchung des mechanischen Verhaltens von zylindrischen oder kugelförmigen Hochdruckbehältern wird man zweckmäßigerweise Zylinder- oder Kugelkoordinaten benutzen [179, 180, 181].
In der Kontinuumsmechanik ist die Darstellung von skalarwertigen und tensorwertigen Tensorfunktionen von größter Bedeutung. So sind beispielsweise das elastische Potential (3.14), (3.20) und das plastische Potential in (4.5), (4.8) oder in den Ziffern 4.1 bis 4.5 skalarwertige Tensorfunktionen. Die Stoffgleichungen (3.7), (3.33), (4.116), (4.126), (5.4), (5.9), (5.11) sind Beispiele für tensorwertige Tensorfunktionen. Die Darstellungstheorie wird ausführlich in [168] behandelt. Im folgenden seien nur einige Ergebnisse hieraus mitgeteilt.
Im Anhang sollen einige Ergänzungen zusammengestellt werden, die u.a. für die Konstruktion irreduzibler Invarianten eines Tensors vierter Stufe von grundlegender Bedeutung sind [200, 201].
