Mathematisches Argumentieren, Begründen und Beweisen

Grundlagen, Befunde und Konzepte

verfasst von: Esther Brunner

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Buchreihe : Mathematik im Fokus

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Argumentieren, Begründen und Beweisen sind zentrale mathematische Tätigkeiten, deren Wichtigkeit für den Mathematikunterricht unbestritten ist. Im Zusammenhang mit Kompetenzmodellen und Bildungsstandards werden diese Begriffe allerdings unterschiedlich verwendet. Im vorliegenden Werk wird deshalb zunächst geklärt, was unter einem Beweis zu verstehen ist, welche Merkmale ein solcher aufweist, welche Typen von Beweisen zur Verfügung stehen und wie sich Beweisen zum Begründen und Argumentieren verhält. Aus kognitionspsychologischer Sicht wird aufgezeigt, wie das Denken beim mathematischen Begründen und Beweisen verläuft und in welche Formen von Gewissheit es mündet. Darauf aufbauend werden spezifische Schwierigkeiten von Schülerinnen und Schülern beim Begründen und Beweisen vorgestellt. Diesem wird unterstützendes pädagogisches und didaktisches Handeln der Lehrperson gegenübergestellt. In einem letzten Kapitel wird an einem ausführlichen Unterrichtsbeispiel gezeigt, wie eine Lehrperson diesen anspruchsvollen Prozess des Beweisens in einer Klasse anregt und fachlich unterstützt.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Chapter 1. Einleitung

Zusammenfassung

Wer kennt ihn nicht, den Satz des Pythagoras? Ist er doch gleichzeitig eine bedeutsame kulturelle Leistung, mit der jeder Schüler und jede Schülerin im Verlauf der Sekundarstufe konfrontiert wird, wie auch Ausdruck einer sehr ästhetischen mathematischen Gesetzmäßigkeit. In diesem Satz – a² + b² = c² – wird der Zusammenhang zwischen verschiedenen Quadratflächen über den drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks geklärt: Die Flächen der beiden Kathetenquadrate entsprechen der Fläche des Hypotenusenquadrats.

Esther Brunner

Chapter 2. Was ist ein Beweis?

Zusammenfassung

Was eigentlich ist ein Beweis und welches Verständnis liegt diesem Begriff zugrunde? Im ersten Teil dieses Kapitels wird der Versuch einer Begriffsklärung vorgenommen.

Esther Brunner

Chapter 3. Argumentieren, Begründen und Beweisen

Zusammenfassung

In der Literatur sowie im Zusammenhang mit den Kompetenzmodellen, den aktuellen Bildungsstandards oder den großen Leistungsmessungsstudien werden die Begriffe „Argumentieren“, „Begründen“ und „Beweisen“ teilweise sehr unterschiedlich verwendet. Deshalb wird in diesem Kapitel zunächst eine Begriffsbestimmung vorgenommen. Bezüglich des Verhältnisses dieser drei Begriffe bzw. Prozesse zueinander zeigt sich eine weitere Kontroverse. Auch hier besteht Klärungsbedarf. Des Weiteren wird eine mögliche Schematisierung der allgemeinen Argumentstruktur vorgestellt und es werden verschiedene Begründungsarten beschrieben. Die Zusammenfassung am Schluss dieses Kapitels mündet in ein Modell, in dem das Verhältnis zwischen Argumentieren, Begründen und Beweisen anschaulich aufgezeigt wird.

Esther Brunner

Chapter 4. Begründen und Beweisen – vielschichtige kognitive Prozesse

Zusammenfassung

Wie vollzieht sich nun Beweisen aus kognitionspsychologischer Sicht? Welche Prozesse spielen sich dabei ab? Anhand eines kognitionspsychologischen Prozessmodells des schulischen Beweisens (Brunner 2013) sollen diese Fragen nun erörtert werden. Bevor auf dieses Modell fokussiert wird, erfolgt eine Klärung des Rahmens, innerhalb dessen sich Beweisen abspielt. Beweisen wird sodann bezüglich seiner Ausgangslange und seiner Zielsetzung beschrieben, bevor einzelne psychologische Prozesse beschrieben werden. Diese münden in das besagte Prozessmodell des schulischen Beweisens, das vorgestellt wird.

Esther Brunner

Chapter 5. Begründen und Beweisen lernen und lehren

Zusammenfassung

Mathematisches Begründen und Beweisen ist eine hoch anspruchsvolle Tätigkeit, und zwar sowohl für Schülerinnen und Schüler wie für Lehrerinnen und Lehrer.

Esther Brunner

Chapter 6. Beweisen – ein Beispiel

Zusammenfassung

Wie sieht nun Wissenskonstruktion im Rahmen einer Beweisphase konkret aus? Und welche Unterstützung wird dabei von der Lehrperson geleistet? Dies wird in diesem Kapitel am Beispiel eines Unterrichtstranskripts aus einer Gymnasialklasse des 9. Schuljahres veranschaulicht.

Esther Brunner

Titel: Mathematisches Argumentieren, Begründen und Beweisen
verfasst von: Esther Brunner
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-642-41864-8
Print ISBN: 978-3-642-41863-1
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-41864-8