Fluid- und Thermodynamik

Die Thermo- und Fluiddynamik sind Feldtheorien, deren hauptsächliches Ziel es ist, die physikalischen Prozesse in kontinuierhchen Medien mathematisch zu beschreiben. Dabei geht es in der Regel darum, die Dichte, die Bewegung und die Temperatur in jedem materiellen Punkt des Körpers zu bestimmen. Die Thermodynamik stellt insofern eine Erweiterung der Mechanik dar, als letztere sich nur mit der Bestimmung der Felder der Dichte und Bewegung beschäftigt; die Thermodynamik wird nötig, wenn man sich darüber hinaus für die Erwärmung eines Körpers interessiert.

Die Hydrostatik ist die Lehre vom mechanischen Gleichgewicht der Flüssigkeiten und Gase. Wir wollen ihre Grundregeln in diesem Kapitel unter einem gemeinsamen Blickwinkel betrachten, zuvor aber noch einige charakteristische Merkmale der eigentlichen Flüssigkeiten und Gase erwähnen. Eigentliche Flüssigkeiten sind auf Grund ihrer (im Vergleich zu den Gasen) relativ großen Dichte annähernd volumenbeständig. Sowohl Gase als auch Flüssigkeiten haben das Bestreben, den zur Verfügung stehenden Raum auszufüllen. Während Gase dies uneingeschränkt tun, steigen Flüssigkeiten in Kapillaren hoch und sind zur Tropfenbildung fähig, sofern die räumUchen Abmessungen der Flüssigkeitsmenge hinreichend klein sind, Abb. 2.1a,b. Diese Eigenschaften von Flüssigkeiten sind auf die Oberflächenspannungen zurückzuführen, die letzthch auf die Wechselwirkungen der Flüssigkeitsmoleküle zurückgehen. Abbildung 2.1c zeigt den Kraftverlauf, dem zwei wechselwirkende Moleküle mit Abstand d unterworfen sind, wobei d₀ etwa dem Moleküldurchmesser entspricht. Bei Gasen beträgt der mittlere Abstand zweier Moleküle in der Regel mehrere mittlere Moleküldurchmesser (ungefähr 10d₀), Die Moleküle sind also soweit voneinander getrennt, daß nur sehr schwache gegenseitige Kohäsionskräfte wirksam sind. Nur,,gelegentlich“ kommen sich zwei Gasmoleküle so nahe, daß sie sich abstoßen; in diesen Fällen ist die Wechselwirkungskraft sehr groß und von kurzer Dauer, womit sich die vereinfachende Modellbildung begründet, daß sich die Wechselwirkung bei Gasen auf Stöße beschränkt.

Nachdem wir im letzten Kapitel die Hydrostatik, also die Lehre vom mechanischen Gleichgewicht von Fluiden behandelt haben, wenden wir uns in diesem Kapitel einigen Teilfragen der Hydrodynamik zu. Dabei werden wir uns nach einer anfänglichen Einführung in die kinematischen Grundbegriffe den eigentlichen dynamischen Prinzipien zuwenden, nämlich der Massen-und Impulsbilanz sowie der Bilanz der mechanischen Energie, aus der eine der wichtigsten Gleichungen der Hydrodynamik hervorgegangen ist. Es ist dies die Bernoullische Gleichung, welche Johann Bernoulli in seinem berühmten Werk „Hydrodynamica“bereits im Jahre 1738 veröffentlicht hat, und die heute zu den unentbehrlichen Hilfsmitteln des Physikers und noch mehr des Ingenieurs gehört.

Wir haben bisher die innere Reibung der Flüssigkeit weitgehend vernachlässigt. Im Kapitel 1 wurden zwar die wichtigsten Beobachtungen, die auf die Reibung zurückgehen, anhand von Kriechversuchen erläutert, auf eine ins Detail gehende Beschreibung der Reibungsspannungen wurde bisher aber verzichtet. Dies ist verständlich, denn an keiner Stelle ist es in den Kapiteln 2 und 3 nötig gewesen den Mechanismus der inneren Reibung zu kennen. In diesem und im nächsten Kapitel sollen jetzt Fragen behandelt werden, welche nur bei Berücksichtigung der inneren Reibung quantitativ erfaßt werden können. Im nächsten Abschnitt werden wir die allgemeinen Grundgleichungen viskoser Flüssigkeiten behandeln, dann werden wir auf Schichtenströmungen eingehen und diese schließlich auf verschiedene technisch relevante Probleme anwenden. Rohrströmungen werden in einem eigenen Kapitel gesondert behandelt.

Wir wollen uns in diesem Kapitel weiterhin den Strömungen zäher Flüssigkeiten zuwenden, die Kenntnisse aber in Richtung turbulenten Strömungsverhaltens erweitern. Bei ihren Versuchen mit Rohrströmungen haben Reynolds (1842–1912) und Couette nämlich erkannt, daß zwei Strömungsregimes bestehen. Die eine ist die laminare Strömung, bei der sich die Flüssigkeitsteilchen quasi geordnet in axialer Richtung bewegen, Abb. 5.1. Die andere, turbulente Strömung, ist eine viel komplexere Strömungsart, bei der die Partikel durcheinander gewirbelt werden. Die Strömung im Rohr ist zwar immer noch vorwiegend axial gerichtet, aber es bestehen ausgeprägte Querkomponenten, die zu einer „Verwirbelung“des Fluids führen und den Volumenstrom beeinflussen.

Bis anhin haben wir uns rein strömungsmechanischen Fragestellungen zuge-wendet und mit Hilfe von mechanischen Gesetzen die Bewegung von tropfbaren Fluiden (Wasser, Öle, etc.) und von Gasen (Luft, etc.) untersucht. Neben den allgemeinen Gesetzen der Massen- und Impulserhaltung sind zwar auch noch materialtechnologische Aussagen gemacht worden, wie etwa bei der Postulierung des Zusammenhangs zwischen Schubspannung und Scherwinkel beim einfachen Schubversuch, oder der Beziehung zwischen Spannungstensor und Verzerrungsgeschwindigkeitstensor beim viskosen Fluid (Kapitel 4). Die Formuherung dieser Gesetze ist jedoch in recht pauschaler Form erfolgt ohne wesentliche Abstützung auf physikahsche Prinzipien und bewährt sich letzthch nur am Experiment. Ziel war es, die mechanischen Bilanzaussagen durch ergänzende Gesetze, welche das Materialverhalten beschreiben, (wenigstens prinzipiell) integrierbar zu machen und so zu einem geschlossenen System von Gleichungen zu gelangen. In diesem Sinne nennt man solche Gesetze oder Gleichungen auch Schließbedingungen.

Von der Thermodynamik soll jetzt der Schritt zur Gasdynamik gemacht werden, indem die Bewegungsvorgänge im Gas mit in die Betrachtungen einbezogen werden. Das Hauptaugenmerk in der Thermodynamik wurde auf die Zustandsgrößen gelegt, und es wurde gezeigt, daß die thermischen und die kalorischen Zustandsgleichungen als Folge des zweiten Hauptsatzes miteinander verkoppelt sind. Mit anderen Worten, wenn die kalorische Zustandsgröße, wie z.B. die freie Helmholtz-Energie als Funktion von Dichte und Temperatur bekannt ist, so ist der Druck im wesenlichen durch Differentiation der freien Helmholtz-Energie nach der Dichte gegeben, siehe Tabelle 6.3. Wir wollen in diesem Kapitel einfache gasdynamische Probleme behandeln, in welchen neben den Zustandsvariablen Dichte und Temperatur als unbekannte Größen auch das Geschwindigkeitsfeld auftritt. Das sind fünf Feldgrößen, p, T, t;, wofür mit dem Massenerhaltungssatz, dem Impulssatz und der Energiegleichung fünf Gleichungen zur Verfügung stehen, wobei hier allerdings vorausgesetzt wird, daß der Druck und die Dichte durch die thermische und kalorische Zustandsgleichungen festgelegt sind und auch eine Aussage über den Reibungsspannungstensor vorliegt.

Physikalische Probleme werden durch Beziehungen beschrieben, welche von dimensionsbehafteten Größen beherrscht werden, wie Länge, Zeit, Masse, Kraft, Temperatur etc. Die Form dieser Beziehungen muß dergestalt sein, daß abhängige und unabhängige Größen so kombiniert werden, daß dimensi-onsgerechte Formeln entstehen. So muß eine physikalisch richtig geschriebene Formel links und rechts des Gleichheitszeichens auf die gleiche Dimension führen.