Finite Elemente — Ein Einstieg

Die Finite Elemente Methode (FEM) stellt als vielseitig einsetzbares Berechnungs-verfahren heute eines der wichtigsten Hilfsmittel bei der theoretischen Überprüfung von physikalischen Vorgängen dar. Die Breite ihrer Anwendungsgebiete skizzieren folgende typischen Einsatzmöglichkeiten:

Bevor wir mit der detaillierten Darstellung der Zusammenhänge, die zum Verständnis der Finite Elemente Methode (FEM) erforderlich sind, beginnen, soll ein relativ anschaulicher Kurzdurchgang den Weg, den wir zurücklegen müssen, erläutern. Dieses Kapitel vermittelt von der bildhaften Seite das Grundsätzliche der FEM. Die Herleitungen in den folgenden Kapiteln wiederholen das hier Vorgestellte in einer mathematisch und physikaliseh exakten Form. Genau den gleichen Weg wie hier gehen wir dann noch einmal, allerdings mit dem erforderlichen Rechenapparat und der damit verbundenen Gefahr, vor lauter Gleichungen die Methode nicht mehr zu erkennen.

Einer der Gründe für die große Verbreitung der FEM liegt darin, daß es dieses Berechnungsverfahren ermöglicht, komplexe Strukturen mit standardisierten Verfahren zu untersuchen. Daß der Anwender während der Untersuchung das zu untersuchende Bauteil vor sich am Bildschirm sieht, er nicht wie bei den klassischen Verfahren einen Satz von abstrakten Gleichungen zu verstehen hat, steigert die breite Akzeptanz bei den Benutzern noch mehr. Wie anhand des eingespannten Blechs unter Last in Kap. 2 demonstriert, bilden wir ein auf einem Kontinuum vorliegendes Problem auf eine diskrete Fragestellung ab. Das Lösen des diskreten Systems, welches als Näherung des kontinuierlichen dient, stellt in den meisten Fällen eine Aufgabe dar, welche die Handhabung von Matrizen erfordert. Diese Matrizen sind, verglichen mit den Matrizen, die wir noch ohne Rechnereinsatz bearbeiten können, meist sehr groß. Schon bei der Untersuchung des Netzes des eingespannten Blechs in Abb. 2.12 ist bei der vorgeschlagenen Einteilung mit 7×9 Knoten mit je 2 Freiheitsgraden an jedem Knoten eine Matrix der Größe 126 × 126 zu verarbeiten. Daß dies nicht mit Papier und Bleistift geschieht, ist offensichtlich. Der technische Einsatz der FEM ist ohne schnelle digitale Rechner nicht denkbar. Um die erforderlichen Matrizenmanipulationen zu veranschaulichen, und dabei noch mit übersichtlichen Matrizen zu arbeiten, führen wir einige wesentliche Bestandteile des Ablaufs einer Berechnung mit der FEM an Zug- und Druckstäben, die wir im folgenden nur als Zugstäbe bezeichnen, in der 2-dimensionalen Ebene vor. Al-les für den Zusammenbau der Gesamtstruktur aus den einzelnen Elementen Relevante läßt sich hier an überschaubaren Beispielen vorführen. Zunächst leiten wir die Elementmatrizen der ersten (und einfachsten) Elemente, der Zugstäbe, her. Danach werden wir anhand des Zusammenbaus von einzelnen Stäben zu einem Verbund, einem Fachwerk, die Matrizenmanipulationen beschreiben, die typisch für die FEM sind.

Die Elastostatik, welche die wesentlichen Bausteine der Festigkeitsberechnung liefert, hat bei der Entwicklung der FEM eine entscheidende Rolle gespielt. Die grundlegende Idee, Gesamtkonstmktionen zur Berechnung aus einfachen Teilstrukturen zusammenzusetzen gab es im Bauwesen schon vor der FEM. Verbände von Bauelementen wie z.B. Wände und Decken wurden dort in ihrer Wechselwirkung betrachtet, das gemeinsame Verformungsverhalten analysiert. Die Idee, eine der direkten Berechnung nicht zugängliche Struktur in einzeln berechenbare Elemente zu zerlegen, hat sicher darin ihren Ursprung.

Als Potential- oder Feldprobleme bezeichnet man in Physik und Technik die große Klasse von Fragestellungen, bei der sich die treibende Kraft des betrachteten Phänomens dieser Probleme aus einem Feld ableiten läßt. Das Potential eines Testkörpers in diesem Feld ist eine Funktion des Ortes und der Zeit, aus ihm folgen die Wirkungen des betrachteten physikalischen Prozesses auf diesen Testkörper. Historisch leitet sich der Begriff von dem der potentiellen Energie in der Mechanik ab. Damit kennzeichnet man die Energie, die ein Körper, an dem Hubarbeit geleistet wurde, aufgenommen hat. Das Potential eines Körpers in diesem Schwerefeld ist die aufgenommene Energie je Einheitsmasse.

Wie in der Elastostatik und bei den Potentialproblemen wollen wir in einem ersten Abschnitt eine kurze Darstellung der physikalischen Phänomene der linearen Dynamik geben, und die sie beschreibenden Gleichungen einfuhren. Mit dieser Vorbereitung gehen wir dann an die Behandlung dynamischer Fragen mit der FEM.

Die bisherigen Kapitel zeigten, daß die FEM in einem breiten Spektrum von technischen Problemen ein nützliches Hilfsmittel darstellen kann. Es gelingt bei den unterschiedlichsten Fragestellungen das vorliegende kontinuumsmechanische Problem auf eine diskrete Formulierung der Art Zn bringen. Dabei ist S die Systemmatrix, u beschreibt die gesuchte physikalische Größe, F die Einwirkung der Umgebung auf das betrachtete Kontinuum. S beinhaltet bei statischen oder stationären Aufgaben nur die Steifigkeits- bzw. die Leitfähigkeitsmatrix K, bei transienten oder dynamischen Untersuchungen zusätzlich noch die Massenmatrix M und ggf. die Dämpfungsmafrix C. In alien betrachteten Faäen waren die Matrizen, weiche das System beschrieben, und die äußere Einwirkung F unabhängig von der zu berechnenden physikalischen Größe u. Unter dieser Voraussetzung lassen sich sehr schnelle, effektive Algorithmen entwickeln, da bei einer Analyse eines Zeitverlaufs die gesuchte Variable u(t) durch

Nachdem in den bisherigen Kapiteln das Werkzeug für eine Finite Elemente Berechnung bereitgestellt wurde, wollen wir jetzt überlegen, wie die Analyse einer technischen Fragestellung mit der FEM abläuft. Schon von der Aufgabenstellung her stoßen wir dabei auf einige Schwierigkeiten. Es gibt so viele verschiedene Arten von Berechnungsaufgaben, daß es nicht gelingen kann, befriedigend auf auch nur einen wesentlichen Teil von ihnen einzugehen. Wir müssen uns in der Darstellung beschränken, um nicht in unverständlicher Allgemeinheit zu beharren. Bei den unterschiedlichen Aufgabenstellungen gibt es aber einige typische Erscheinungen, die sich in verschiedenen Formen in vielen Aufgaben wiederfinden. Aufgrund der Häufigkeit der Anwendungen orientieren wir uns an Festigkeitsuntersuchungen. Der Prozeß einer FE-Berechnung läuft bei anderen Fragestellungen ähnlich ab.

Die Entwicklung der FEM nahm, wie die vieler mit der EDV zusammenhängender technischer Verfahren, einen stürmischen Verlauf. Einer der Gründe liegt in der rasanten Hardwareentwicklung der letzten Jahre, deren Ende nicht absehbar ist. Heute stehen Privatpersonen zu Spiel- und Unterhaltungszwecken Rechnerkapazitäten zur Verfügung, die noch vor wenigen Jahren typisch für Großforschungseinrichtungen waren. Die in Forschung und Entwicklung genutzten Computer weisen Leistungsdaten auf, die vor 10 Jahren undenkbar schienen, und sind doch schon nach kurzer Zeit veraltet. Mit der Rechnerleistung wachsen die Möglichkeiten, komplexe Strukturen zu modellieren und zu analysieren.