Siegelsche Modulfunktionen

Frontmatter

Einleitung

Zusammenfassung

Die Theorie der Modulfunktionen einer und mehrerer Veränderlicher wurde im 19. Jahrhundert begründet. Sie hängt eng zusammen mit der Theorie der Integrale algebraischer Funktionen. Es ist zum Verständnis der historischen Entwicklung notwendig, sich einige Höhepunkte der Integrationstheorie algebraischer Funktionen vor Augen zu führen, auch wenn auf diesen Aspekt in dem vorliegenden Buch gar nicht mehr eingegangen wird.

Eberhard Freitag

Inhaltsübersicht

Zusammenfassung

Im ersten Kapitel werden die grundlegenden Existenz- und Endlichkeitssätze für Siegeische Modulformen und Modulfunktionen bewiesen.

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Liste häufig verwendeter Bezeichnungen

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Kapitel I. Die klassische Theorie der Siegelschen Modulformen

Zusammenfassung

Der an einer möglichst schnellen Einführung in die Theorie der Sie-gelschen Modulfunktionen interessierte Leser kann diesen „§0“ zunächst einmal überschlagen. Für die in Kapitel I und II entwickelte Theorie kommt man mit Poincaré- und Eisensteinreihen als Konstruktionsbausteine für Modulformen aus.

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Kapitel II. Die Satake-Kompaktifizierung

Zusammenfassung

Der Quotientenraum \( {_n}/{\Gamma _n} \)trägt eine Struktur als quasiprojektive Varietät. Die Modulfunktionen entsprechen genau den rationalen Funktionen auf dieser Varietät. In diesem vorbereitenden Paragraphen wird die Grundidee des Beweises dargelegt.

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Kapitel III. Der Körper der Modulfunktionen

Zusammenfassung

Der Ring der Siegeischen Modulformen vom Grade 1 bzw. 2 wird von 2 bzw. 4 algebraisch unabhängigen Modulformen erzeugt. Die Körper der Modulfunktionen sind in beiden Fällen rational.

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Kapitel IV. Heckeoperatoren

Zusammenfassung

Zum Aufbau der Theorie der Heckeoperatoren verwenden wir die abstrakte Heckealgebra, wie sie von G. Shimura eingeführt wurde. Nach Shimura kann man jedem Gruppenpaar R⊂S unter einer gewissen Zusatzbedingung eine abstrakte Algebra ℋ(R,S) zuordnen. Die Elemente dieser Algebra sind formale Linearkombinationen von Doppelnebenklassen R s R, s∈S. Im Spezialfall \( R = \rm Siegelsche Modulgruppe n-ten Grades,\ S = \rm Gruppe der projektiv rationalen symplektischen Matrizen n-ten Grades,\ \) besitzt die Algebra ℋ(R,S) eine natürliche Darstellung auf dem Vektorraum [Г _n ,r] der Modulformen eines festen Gewichts r.

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