Statistische Methoden

Frontmatter

1. Grundlagen und Ziele statistischer Methoden

Zusammenfassung

Wie überzeugend sind die Befunde eines Experimentes, einer Beobachtung oder einer Befragung? Sind es Auswirkungen des Zufalls? Die Antwort gibt der Statistiker, der Architekt einer Untersuchung, der Analytiker der Ungewißheit, in Form von Wahrscheinlichkeitsaussagen; etwa eine Vorausschätzung des Wahlresultates in der Wahlnacht aufgrund von Stichprobenresultaten. Disraeli’s Bemerkung „There are three kinds of lies: lies, damned lies, and statistics“ist nicht mehr aktuell. Eher schon ließe sich manche Statistik mit einem Bikini vergleichen: was er enthüllt, ist vielversprechend, was er verbirgt ist entscheidend.

Lothar Sachs

2. Mittelwerte und Variabilität, unklassifizierte Beobachtungen

Zusammenfassung

Wiederholte Messungen eines bestimmten Objektes liegen meist mehr oder weniger eng um das arithmetische Mittel, kurz Mittelwert genannt.

Lothar Sachs

3. Häufigkeitsverteilung und Summenhäufigkeitsverteilung

Zusammenfassung

Um eine Vorstellung von der Form einer Stichprobenverteilung zu erhalten und einige Kenngrößen besser berechnen zu können, werden die n Beobachtungen (n ⪆ 50) in k Klassen gruppiert. Man bildet, entsprechend dem Umfang n der Stichprobe etwa 7 bis 20 Klassen mit gleicher Klassenbreite b. Die Anzahl der Beobachtungen, die in die j-te Klasse fallen, wird mit n _j bezeichnet (j = 1, 2,…, k); die Anzahl n _j wird absolute Häufigkeit oder Besetzungszahl der Klasse j genannt. Die relativen Besetzungszahlen h _j = n _j /n werden in Prozenten 100n _j /n% ausgedrückt (vgl. Tab. 4); ihre Summe wird dann ohne Dezimalstelle angegeben (Σh _j = 100%).

Lothar Sachs

4. Normalverteilung

Zusammenfassung

Die Normalverteilung mit den Parametern μ (my) und σ (sigma) hat etwa die Form einer um μ symmetrischen Glockenkurve; der Mittelwert μ gibt die Lage der Verteilung auf der x-Achse (Abszisse) an, die Standardabweichung σ die Form.

Lothar Sachs

5. Vertrauensbereiche

Zusammenfassung

In diesem und dem folgenden Kapitel werden statistische Schlußweisen vorgestellt. Der im Abschnitt 5.8 herausgestellte enge Zusammenhang zwischen Test und Vertrauensbereich erfordert Verweisungen zwischen den einzelnen Abschnitten, die beim Nachschlagen nützlich sein werden. Natürlich ist es bei der Lektüre nicht notwendig, den Verweisungen zu folgen.

Lothar Sachs

6. Statistische Tests

Zusammenfassung

Viele Hypothesen sind nur indirekt prüfbar. Beispiele machen sie zwar empirisch sicherer, ohne sie jedoch beweisen zu können. Zur Widerlegung genügt oft ein Gegenbeispiel. Da auch eine Arbeitshypothese (H _A ) nie direkt bestätigt werden kann, stellt man eine Gegenhypothese (Nicht-H _A oder H _o ) auf und versucht diese zu widerlegen. Hierdurch läßt sich die Arbeitshypothese indirekt bestätigen.

Lothar Sachs

7. Wieviel Beobachtungen werden benötigt?

Zusammenfassung

Eine wichtige Frage bei der Planung von Untersuchungen betrifft die Anzahl benötigter Beobachtungen. Mit steigendem Stichprobenumfang wird (a) der Vertrauensbereich kleiner und (b) um so kleinere Unterschiede werden durch einen Test als signifikant ausgewiesen. Entsprechend wirkt eine Verkleinerung der Variabilität, etwa durch Verwendung von homogenerem Material oder durch eine Verbesserung der Untersuchungstechnik und des Untersuchungsplanes. Die folgenden Formeln (49–53) für die benötigten Stichprobenumfänge sind grobe Näherungen.

Lothar Sachs

8. Korrelation und Regression

Zusammenfassung

Zwischen den beiden veränderlichen Größen Radius r und Fläche F eines Kreises besteht ein sog. funktionaler Zusammenhang: F = πr ² (mit π ≈ 3,1416) Jedem Radius entspricht ein ganz bestimmter Flächenwert. Die Kreisfläche ist eine Funktion des Radius (weiter unten bedeutet r etwas anderes).

Lothar Sachs

9. Anhang: Schnellverfahren für den Vergleich mehrerer Mittelwerte

Zusammenfassung

Für den Vergleich mehrerer Mittelwerte (vgl. auch Formel (34) am Ende von Abschnitt 6.3) bedient man sich der rechnerisch aufwendigen Varianzanalyse, die Normalverteilung, Gleichheit der Varianzen sowie andere Eigenschaften voraussetzt. Einen Einblick gibt S. 99. Gleichen Verteilungstyp der Zufallsstichproben und unter der Nullhypothese gleiche Parameter setzt ein einfaches Verfahren von McDonald und Thompson voraus, das auf den sogenannten Rangsummen basiert.

Lothar Sachs

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