Kontinuumsmechanik

Die lineare Elastizitätstheorie kann auf eine mehr als 300 jährige Geschichte zurückblicken: Im Jahre 1678 machte Hooke die Feststellung „ut tensio sic vis“, die er bereits zwei Jahre zuvor in Form eines Anagramms (ceiiinosssttuv) traf. Danach sind Längenänderung und Last proportional. Die geschichtliche Weiterentwicklung kann man beispielsweise in [1 bis 5] verfolgen.

In der Kontinuumsmechanik werden skalare Funktionen wie Dichte und Temperatur, vektorwertige Funktionen wie Verschiebung, Geschwindigkeit und Beschleunigung sowie tensorwertige Funktionen zweiter Stufe (Verzerrungstensoren, Spannungstensoren) betrachtet. Die genannten Funktionen sind Feldgrößen, die ortsabhängig sind und im instationären Fall auch von der Zeit abhängen. Von diesen Funktionen wird Stetigkeit und stetige Differenzierbarkeit (genügend oft) in allen Variablen vorausgesetzt.

Zur Beschreibung der Grundlagen der Kontinuumsmechanik (Kapitel B) und zur Formulierung von Stoffgleichungen (Kapitel C) wurden rechtwinklige kartesische Koordinaten benutzt. Es kann jedoch von Vorteil sein, auf krummlinige Koordinaten überzugehen, auch wenn auf den ersten Blick die Überschaubarkeit der Zusammenhänge erschwert wird. So bieten sich krummlinige Koordinaten für viele Anwendungen aus dem Ingenieurbereich an, z.B. bei der Behandlung technischer Randwertprobleme zur bequemeren Erfassung der Randbedingungen. Zur Untersuchung des mechanischen Verhaltens von zylindrischen oder kugelförmigen Hochdruckbehältern wird man zweckmäßigerweise Zylinder- oder Kugelkoordinaten benutzen [179,180,181].

In der Kontinuumsmechanik ist die Darstellung von skalarwertigen und tenorwertigen Tensorfunktionen von größer Bedeutung. So sind beispielsweise das elastische Potential (3.14), (3.20) und das plastische Potential in (4.5), (4.8) oder in den Ziffern 4.1 bis 4.5 skalarwertige Tenorfunktionen [215]. Die Stoffgleichungen (3.7), (3.33), (4.116), (4.126), (5.45), (5.50), (5.52) sind Beispiele für tensorwertige Tenorfunktionen [225, 233]. Darüber hinaus werden in [266] auch Anwendungen in der Fluidmechanik diskutiert. Die Darstellungstheorie wird ausführlich in [26, 168] behandelt. Im folgenden seien nur einige Ergebnisse hieraus mitgeteilt.

Zunächst stellt man fest, daß zum Zeitpunkt t = 0 die x_i und a_i zusammenfallen. Zu überprüfen ist, ob die Jacobische Determinante (1.3) der Abbildung (1.2a) und die Jacobische Determinante J⁽⁻¹⁾:= ∣∂a_i/∂x_j∣ der inversen Abbildung (1.2b) zu jedem Zeitpunkt positiv sind und ob J J⁽⁻¹⁾ = 1 gilt.