Maß- und Integrationstheorie

In diesem ersten Kapitel beschäftigen wir uns mit Systemen von Mengen, die als Definitionsbereiche für die in Kapitel II einzuführenden Inhalts- und Maßfunktionen in Betracht kommen. Daß hier der Wahl angemessener Definitionsbereiche eine erhebliche Bedeutung zukommt, ergibt sich aus den Paradoxien1, die sich im Zusammenhang mit dem sog. Inhaltsproblem ergeben haben. Wir stellen einige dieser Paradoxien im ersten Paragraphen dar. Für das Verständnis der folgenden Abschnitte ist die Kenntnis des Stoffes von § 1 nicht nötig.

« ... la nouvelie definition va se trouver applicable non plus seulement à un espace à n dimensions mais à un ensemble abstrait quelconque.»¹ (M. FrÉchet [1], S. 249)

«Pour passer de la definition de l’intégrale d’après Cauchy-Riemann à celle que j’ai donnée, il suffit de remplacer les divisions de l’intervalle de variation de la variable par les divisions de l’intervalle de variation de la fonction.»¹ (H. Lebesgue [7], S. 71)

«Le progrès essentiel obtenu par MM. Borei et Lebesgue dans la théorie de la mesure, est d’avoir realise Padditivité au sens compiei. Toute la supérieurité de leur théorie vient de la. Il importe toutefois de dire que la première idée de cette théorie revient à M. Borei. L’oeuvre propre de M. Lebesgue ne commence qu’avec les integrales définies.»¹ (Ch. de la Vallee Poussin [1], S. 17)

Im ganzen folgenden Kapitel sei (X, 𝔄, μ) ein Maßraum. Wir betrachten für 1 ≤ p ∞ die Menge ℒ ^p der meßbaren Funktionen f : X → K, für welche ∣f∣ ^p ∈ ℒ ¹ ist, und setzen .

Im ganzen folgenden Kapitel sei 𝔄 eine &#x03C3;-Algebra. Ein wesentliches Ziel der folgenden Überlegungen ist die genaue Charakterisierung aller Maße v auf 𝔄, die bez. eines fest vorgegebenen σ-endlichen Maßes ß auf 𝔄 eine Dichte haben. Zentrale Ergebnisse sind hier der Satz von Radon-Nikodym und der Lebesguesche Zerlegungssatz. Diese Sätze gelten sogar für sog. signierte Maße v, die sich von Maßen lediglich dadurch unterscheiden, daß die Forderung der Nichtnegativität fallengelassen wird. Jedes signierte Maß ist darstellbar als Differenz von Maßen (Jordanscher Zerlegungssatz). — Als Anwendung des Satzes von Radon-Nikodym bestimmen wir die Dualräume der Räume L ^p (1 ≤ p < ∞). In § 4 stellen wir den Zusammenhang des Begriffs „absolut stetig“ mit der Differentiation von Funktionen auf R her. Das führt uns zum sog. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung für das Lebesgue-Integral und zum Lebesgue-schen Zerlegungssatz für Lebesgue-Stieltjessche Maße auf R.

Im vorliegenden Kapitel studieren wir Maße auf topologischen Räumen. Musterbeispiele sind das Lebesgue-Maß und die Lebesgue-Stieltjesschen Maße. Wir interessieren uns daher besonders für diejenigen Maße auf der σ-Algebra 𝔅(X) der Borel-Mengen des topologischen Raums X, die möglichst viele Eigenschaften mit dem Lebesgue-Maß gemeinsam haben. Diese etwas vage Zielvorstellung legt verschiedene Ansätze nahe. Das betrifft zunächst die topologischen Voraussetzungen an den Raum X: Der ℝ^p ist sowohl ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum als auch ein vollständig metrisierbarer Raum. Demzufolge entwickeln wir die Regularitätseigenschaften von Borel-Maßen in § 1 bevorzugt für lokal-kompakte Hausdorff-Räume und für vollständig metrisierbare Räume.