Robuste Regelung

Die Grundlage für die Analyse und den Entwurf von Regelungssystemen ist ein mathematisches Modell. Ein gebräuchliches Modell für lineare zeitinvariante Systeme ist eine Zustandsdarstellung in der Form

Den Beispielen aus Kapitel 1 ist gemeinsam, daß die Regelstrecke im Betriebsbereich Q schwach gedämpft oder sogar instabil ist. Eine primäre Aufgabe des Regelungssystems ist daher die Stabilisierung mit ausreichender Dämpfung für alle Betriebszustände q ∈ Q. Da die Eigenwerte durch eine Steuerung nicht verändert werden können, benötigen wir eine Rückführungsstruktur. Abb. 2.1 zeigt ein Beispiel eines Regelungssystems mit einer Streckenfamilie G(s, Q) = {g(s,q) | q ∈ Q},einem Kompensator (oder Regler) c(s) im geschlossenen Kreis und einem Vorfilter f (s).

Durch die Annahme von Reglerstrukturen in Kapitel 2 wurden etliche Beispiele für charakteristische Polynome des geschlossenen Kreises p(s, q, k) erzeugt, wobei der Vektor k die freien Reglerparameter und q die unsicheren Parameter enthält. Die unsicheren Parameter können beliebige Werte in einem Betriebsbereich Q annehmen, d.h. q ∈ Q.

Es ist bekannt, daß ein lineares zeitinvariantes System stabil ist, wenn alle Wurzeln seines charakteristischen Polynoms negativen Realteil besitzen. Wir sprechen dann kurz von „Stabilität eines Polynoms“.

Im Kapitel 4 wurden mehrere Testmethoden vorgestellt, die es erlauben, eine Familie von Polynomen auf Stabilität zu prüfen. Diese Familie wird durch ein unsicheres Polynom erzeugt, wobei die Koeffizienten a _i in einer Box Q variieren. Wie in Kapitel 4 werden reelle und stetige Koeffizientenfunktionen a _i (q) mit für alle q ∈ Q vorausgesetzt, wobei Q den Variationsbereich beschreibt: Die bisher betrachteten Robustheitstests basierten auf der vollständigen Menge der unsicheren Parameter. Die Testmenge zur Überprüfung auf Robustheit der Polynome in Q war Q selbst. Hier erhebt sich die Frage, ob es ausreicht, nur eine Untermenge von Q zu prüfen. Betrachten wir z.B. das Polynom mit den zwei unsicheren Parametern q ₁ und q ₂ , die in einem Rechteck variieren. Dafür existiert ein sehr einfacher Robustheitstest. P(s, Q) ist stabil für alle q = [q ₁ q ₂] ^T . in Q dann und nur dann, wenn q ₁ > 0 und q ₂ > 0. Trivialerweise ist dies genau dann erfüllt, wenn q ₁ ⁻ > 0 und q₂ ⁻ > 0. Für ein unsicheres Polynom zweiten Grades ergibt sich daraus ein einfacher Robustheitstest: Das Polynom (5.0.5) ist im Rechteck Q genau dann stabil, wenn die Ecke von Q einem stabilen Polynom entspricht (vereinfacht ausgedrückt: q ^-- ist stabil).

In den vorausgehenden Kapiteln wurde der Stabilitätstest mit Nullausschluß von der Wertemenge als Konzept für die Beweise des Satzes von Kharitonov und des Kantensatzes benutzt. Für nichtlineare Parameterabhängigkeiten existieren keine solch einfachen Tests, es ist jedoch in bestimmten Fällen möglich, die Wertemenge zu konstruieren und diese für den Stabilitätstest mit Hilfe des Nullausschlusses zu verwenden. Die Wertemengenkonstruktion kann sehr schnell ausgeführt werden, wenn das System eine „Baumstruktur“ besitzt.

In den Kapiteln 4 bis 6 wurde die Stabilität von Polynomfamilien mit p(s,q) = a₀(q) + a₁(q)s + ... + a_n(q)s ⁿ und q _i ∈ [q _i ⁻ ; q _i ⁺ ], i = 1, 2, ... , ℓ untersucht. Das Hauptinteresse richtete sich dort auf die Herleitung von notwendigen und hinreichende Bedingungen für Stabilität. Das Prüfen dieser Bedingungen liefert als Antwort auf das robuste Stabilitätsproblem zunächst ja oder nein. Ist sie positiv, so steht für die unsicheren Parameter eine Stabilitätsreserve zur Verfügung, d.h. der Bereich Q der Parameter kann noch vergrößert werden, ohne daß die Stabilität verloren geht. Die jetzt zu behandelnde Frage lautet: Wie groß ist die kleinste Störung in den Parametern, die das System destabilisiert?

Mit Kapitel 8 beginnt Teil III des Buches, in dem spezielle Regelungsstrukturen, unter zusätzlichen Robustheitsforderungen an den geschlossenen Regelkreis, behandelt werden. Es geht dabei um Probleme wie unsichere nichtlineare Kennlinien innerhalb eines Sektors, Gamma-Stabilität oderdie Implementierung eines diskreten robusten Reglers.

Regler werden üblicherweise in einem digitalen Rechner implementiert. Abb. 10.1 zeigt ein einschleifiges Abtastregelungssystem mit c _z (z) als z-Übertragungsfunktion des digitalen Reglers. Die Übertragungsfunktion des Haltegliedes ist (1 — e ^-sT ) /s und T ist das Abtastintervall.

Mit Kapitel 11 treten wir nun in den Teil IV dieses Buchs ein, der sich mit dem Reglerentwurf beschäftigt. Für ein unsicheres charakteristisches Polynom p(s, q, k) eines geschlossenen Regelkreises soll ein k = k ⁰ so bestimmt werden, daß das Polynom p(s, q, k ⁰) Γ-stabil für alle q ∈ Q ist. Mögliche Situationen sind hierbei:

Mit dem Parameterraurnverfahren des vorherigen Kapitels werden zuerst Gebiete im Raum der Reglerkoeffizienten bestimmt, in denen simultane Γ-Stabilität einer endlichen Streckenfamilie garantiert ist. Mit der Entwurfsmethode aus [111,110], die in diesem Kapitel vorgestellt wird, kann auch nach simultan stabilisierenden Reglerkoeffizienten gesucht werden. Im Gegensatz zum Parameterraurnverfahren werden jedoch dabei nicht die Stabilitätsgrenzen im Raum der Reglerkoeffizienten erzeugt. Es werden vielmehr simultan stabilisierende Reglerkoeffizienten aus der (i.a. nicht bekannten) zulässigen Lösungsmenge durch Optimierung eines vektoriellen Gütekriteriums bestimmt. Der R.eglerentwurf durch Optimierung eines vektoriellen Gütekriteriums ist ein iteratives Verfahren, bei dem freie Koeffizienten in einer gewählten Reglerstruktur so bestimmt werden, daß eine systematische Verbesserung des Entwurfsergebnisses nach jedem Iterationsschritt garantiert ist, auch wenn sehr viele Entwurfsspezifikationen zu berücksichtigen sind. Vor jedem Iterationsschritt werden freie Entwurfsparameter vorgegeben, so daß die Komponenten des Gütevektors, die klein werden sollen, in ihrem Wert reduziert werden, ohne vorgegebene obere Schranken der restlichen Gütekriterien zu verletzen. Mit der Entwurfsstrategie kann man das Entwurfsergebnis in jedem Schritt in eine gewünschte Richtung lenken, bis schließlich ein bestmöglicher Kriterienkompromiß gefunden ist.