Direkte Methoden der Variationsrechnung

Der Name „Variationsrechnung“ wurde zum ersten Mal von L. Euler im Jahre 1756 benutzt. Damit bezeichnete Euler die von J. L. Lagrange 1755 entwickelte neue Methode, aus der er selbst alle möglichen formalen Folgerungen zog. Heute wird der Begriff Variationsrechnung in einem breiteren Sinne verwendet. Gegenstand der Variationsrechnung sind die mathematisch formulierbaren menschlichen Vorstellungen, etwas zu das heißt man will die Minima, die Maxima und die kritischen Punkte einer Funktion bestimmen. In den Anwendungen ist M eine Menge von Zahlen, Funktionen, Wegen, Kurven, Flächen, Feldern ...

Der vorige Abschnitt enthält die fundamentalen Existenz- und Eindeutigkeitssätze der Variationsrechnung in recht großer und für die Anwendungen angemessener Allgemeinheit. Jedoch enthalten diese Sätze keine praktische Information darüber, wie denn der minimierende (maximierende) Punkt in einer konkreten Situation zu berechnen ist.

In diesem Kapitel wollen wir untersuchen, wie man einen minimierenden Punkt eines Variationsproblems, dessen Existenz und eventuell auch dessen Eindeutigkeit nach Kapitel I garantiert ist, berechnen kann. Die im Kapitel I bewiesenen Sätze über die Existenz eines Extremums eines Funktionais f: M → ℝ (M bezeichnet eine offene Teilmenge eines Banach-Raumes E) ermöglichen es nicht, die Punkte zu finden, in denen das Funktional f zum Beispiel sein Minimum annimmt. Das geschieht mit Hilfe der im Kapitel II eingeführten Differentialrechnung in Banach-Räumen nach derselben Strategie wie im bekannten Fall der differenzierbaren Funktionen auf der reellen Achse.

In vielen Anwendungen der Variationsrechnung ist nicht einfach das Minimum einer Funktion f auf einer offenen Menge U zu bestimmen, sondern es ist das Minimum von f unter gewissen Einschränkungen an die Punkte x ∈ U zu bestimmen. Als ein bekanntes Beispiel für diese Art von Problemen führen wir das folgende aus der klassischen Mechanik an: Es ist das Minimum des Wirkungsfunktionais unter der Einschränkung zu bestimmen, daß die Bewegung in einer vorgegebenen Fläche verläuft. In diesem Fall besteht die Einschränkung also darin, daß die Punkte x ∈ U eine Gleichung der Form g(x) = 0, nämlich die Gleichung für die vorgegebene Fläche, erfüllen.

In vielen Anwendungen der Variationsrechnung hat man genaue Information über die Form des zu minimierenden Funktionais f. Praktisch heißt das, daß das zu minimierende Funktional f folgende Form hat: , mit einer gewissen Funktion F: I × ℝ ⁿ⁺¹ → ℝ, φ: I → ℝ und einem kompakten Intervall I = [a, b], bzw. die entsprechende Verallgemeinerung auf Funktionen φ von mehreren Veränderlichen und Funktionen φ mit Werten in ℝ ^p , p > 1.

Eine recht frühe Anwendung der variationstheoretischen Grundkonzepte und Methoden stellt die Lösung großer und wichtiger Klassen linearer Rand- und Eigenwert-Probleme dar. Obwohl die hier diskutierten Resultate zum Teil aus den im übernächsten Kapitel besprochenen Ergebnissen über nicht-lineare Rand- und Eigenwert-Probleme folgen, geben wir bereits hier einen Beweis, um die Einfachheit und den elementaren Charakter des variationstheoretischen Zugangs zu betonen. Dazu beginnen wir mit einem variationstheoretischen Beweis des Spektralsatzes für kompakte selbstadjungierte Operatoren. Es folgt eine recht allgemeine Version des Projektionssatzes (für konvexe abgeschlossene Mengen).

Im vorigen Kapitel haben wir unter anderem lineare elliptische Randwert-Probleme mit variationstheoretischen Methoden gelöst. Ziel dieses Abschnittes ist es, einen Teil der von F. E. Browder [VIII.2] stammenden Verallgemeinerungen auf nicht-lineare, genauer auf quasi-lineare, elliptische Randwert-Probleme zu besprechen. Der Ansatz, Randwert-Probleme für die quasi-lineare Differentialgleichung „in Divergenzform“ mit Hilfe der Variationsrechnung zu lösen, entspricht weitgehend unserem Ansatz im Falle linearer Differentialgleichungen.

Als weitere Anwendung der direkten Methode der Variationsrechnung soll eine spezielle Klasse von nicht-linearen Eigenwert-Problemen besprochen werden. Dabei verfahren wir bezüglich des technischen Rahmens wie bei der Behandlung der nicht-linearen Randwert-Probleme in Kapitel VII, das heißt, wenn wir Lösungen in einem Gebiet G ⊂ ℝ ⁿ suchen, so arbeiten wir in einem geeigneten Sobolev-Raum W ^{m, p} (G) = E. Ausgangspunkt dieses Lösungsweges ist die folgende einfache Anwendung des Satzes über Lagrange-Multiplikatoren [Satz IV.3]. Sind f und h zwei C¹ -Funktionen auf E mit den Ableitungen Df = f′ und Dh = h′ so können wir die nicht-lineare Eigenwertgleichung in einfacher Weise dadurch lösen, daß wir kritische Punkte der Funktion h auf geeigneten Niveauflächen f ⁻¹(c) von f oder umgekehrt kritische Punkte von f auf geeigneten Niveauflächen h ⁻¹(c) von h bestimmen. Dabei erscheint der Eigenwert λ als Lagrange-Multiplikator.

In diesem Kapitel wollen wir diejenigen Probleme der Thomas-Fermi-Theorie besprechen, deren Lösung sich fast ausschließlich auf Methoden der Variationsrechnung stützt. Bezüglich Fragen der Gültigkeit und der physikalischen Interpretation verweisen wir auf W. Thirring [IX.1], E. Lieb und B. Simon [IX.2] und die dort zitierte Literatur. Hier nicht bewiesene Aussagen sind in [IX.1] und zum Teil in [IX.3] begründet. Ausgangspunkt der Thomas-Fermi-Theorie (TFT) ist das Problem, die Grundzustandsenergie quantenmechanischer Viel-Elektronensysteme zu bestimmen. In der TFT versucht man, dieses lineare Problem dadurch zu lösen, daß man ein die quantenmechanische Grundzustandsenergie approximierendes nicht-lineares Funktional ℰ, nämlich das Thomas-Fermi-Energie-Funktional , unter der Nebenbedingung zu minimieren versucht. In diesem Kapitel setzen wir ʃ = ʃ_ℝ3. (In der Form (9.1) für ℰ ist unter Ausnutzung von Skaleneigenschaften eine bequeme Normierung gewählt worden.)