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2011 | Buch

Rechenmethoden für Studierende der Physik im ersten Jahr

verfasst von: Markus Otto

Verlag: Spektrum Akademischer Verlag

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Indizes bereiten Dir Angst und Schrecken? Integration in krummlinigen Koordinaten ist für Dich ein Buch mit sieben Siegeln? Und was der Satz von Stokes Dir für die Elektrodynamik sagen möchte, ist Dir ein Rätsel? Dann ist dieses Buch genau das richtige für Dein Studium! Die Lerninhalte werden motivierend eingeführt und anhand zahlreicher und unterhaltsamer Beispiele demonstriert. Dabei ist das Buch sich nicht zu fein, Dich auf Fallen und nützliche Tricks hinzuweisen. Wichtige Rechnungen werden komplett ausgeschrieben und auf mathematische Beweise bewusst verzichtet. Zum Inhalt: Es werden zunächst die wesentlichen Rechentechniken für die ersten zwei Semester bereitgestellt (Vektoren, Matrizen, komplexe Zahlen, Ableitungen, Integrale, Differentialgleichungen, Fourierentwicklung) und anschließend in der Mechanik und Elektrodynamik angewendet. Am Ende jedes Abschnitts gibt es für Dich einen „Spickzettel“, auf dem alle wesentlichen Formeln und Zusammenhänge zusammengefasst sind. Dies gibt einerseits einen guten Überblick der Thematik und erleichtert Dir andererseits den Schnelleinstieg vor den Prüfungen. Anhand zweier Übungsklausuren mit Lösungen kannst Du Dich und Dein Wissen abschließend testen.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Vektorrechnung

Zusammenfassung

Oft haben physikalische Größen nicht nur einen Zahlenwert und eine Einheit, sondern auch eine Richtung. Die mathematische Beschreibung geschieht mit Vektoren. Sie sind die „Finger“ des Physikstudenten, die den Ort von Teilchen markieren oder die Richtung und Größe der auf eine Feder wirkenden Kraft angeben. Man nennt Größen, die durch einen Vektor beschrieben werden, vektorwertige oder vektorielle Größen.

Markus Otto

2. Lineare Algebra

Zusammenfassung

Was ist eine Matrix? Nein, kein System, das Menschen ausnimmt und als Batterien benutzt – zumindest nicht im mathematischen Sinn. Es handelt sich vielmehr um eine bestimmte Anordnung von Zahlen in einem Tabellenschema. Wir stellen uns eine Matrix zunächst als beliebig große Tabelle – so wie bei Excel – vor. Diese Tabelle unterteilt sich in Zeilen (vertikal gezählt, bei Excel durch Zahlen nummeriert) und Spalten (horizontal gezählt, bei Excel nach Großbuchstaben benannt). In diesen Zeilen und Spalten stehen die Einträge der Matrix.

Markus Otto

3. Rechnen mit Indizes

Zusammenfassung

In den letzten Kapiteln tauchten immer wieder Rechenvorschriften mit Indizes auf, wie z. B. die Sarrus-Regel (det(A) = a₁b₂c₃ + …), Skalar- oder Kreuzprodukt, welche sehr unübersichtlich erschienen. Wir werden nun eine Schreibweise kennenlernen, die solche langen Terme in eleganter Weise zusammenfasst und bei vielen Rechnungen eine Hilfe ist.

Markus Otto

4. Differenzialrechnung

Zusammenfassung

Die Differenzialrechnung beschäftigt sich mit der lokalen Änderungsrate von Funktionen, salopp gesprochen geht es um die winzigen Änderungen einer Funktion, wenn an ihrem Argument ein ganz klein wenig, d. h. infinitesimal gewackelt wird.

Markus Otto

5. Integration

Zusammenfassung

In diesem Abschnitt werden wir die Integralrechnung beleuchten, welche als Umkehrung der Differenzialrechnung gesehen werden kann. Dazu wird das Integral kurz motiviert und eingeführt, anschließend werden Rechenregeln für Integrale demonstriert.

Markus Otto

6. Bahnkurven

Zusammenfassung

In diesem Kapitel definieren wir den Begriff der Bahn eines Teilchens mit Hilfe vektorwertiger Funktionen. Dazu werden wir zunächst Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Teilchens einführen und anschließend spezielle Bewegungen betrachten. Mit der Bogenlänge diskutieren wir ferner ein Verfahren zur Berechnung der Länge einer Kurve und beschreiben abschließend Kurven in krummlinigen Koordinaten als Vorbereitung für Kapitel 12.

Markus Otto

7. Gewöhnliche Differenzialgleichungen

Zusammenfassung

Beim Berechnen vieler physikalischer Systeme treten komplizierte Gleichungen auf, die Funktionen, Ableitungen beliebigen Grades und Variablen enthalten. Diese Gleichungen heißen Differenzialgleichungen. In diesem Kapitel sowie in Kapitel 11 werden wir uns mit solchen Gleichungen auseinandersetzen und Lösungsstrategien kennenlernen.

Markus Otto

8. Komplexe Zahlen

Zusammenfassung

Bisher haben wir nur mit reellen Zahlen x ∈ ℝ gerechnet. In diesem Kapitel wird der Zahlenbereich auf den Körper der komplexen Zahlen ℂ erweitert. Nachdem die grundlegenden Begriffe definiert wurden, werden wir verschiedene Darstellungen komplexer Zahlen kennenlernen und bei der wichtigen Euler-Formel enden.

Markus Otto

9. Vektoranalysis

Zusammenfassung

Ein Feld ist eine Funktion vom Raum und Zeit und kann skalarwertig oder vektorwertig sein. Im ersten Fall spricht man von Skalarfeldern (z. B. Druck \( p(\vec r,t) \), Temperatur \( T(\vec r,t) \), Dichte \( \rho (\vec r,t),... \)), im zweiten Fall von Vektorfeldern (beispielsweise Kraft \( \vec F(\vec r,t) \), elektrisches Feld \( \vec E(\vec r,t) \), magnetisches Feld \( \vec B(\vec r,t) \)). Manchmal werden Größen, die nicht explizit von der Zeit abhangen, abänfalls Felder genannt. So heißt auch \( \vec F(\vec r) \) Kraftfeld, obwohl es keine Zeitabhängigkeit besitzt. Diese Felder heißen dann statische Felder.

Markus Otto

10. Fourier-Analysis

Zusammenfassung

Bei der Taylor-Entwicklung skalarer Funktionen war die Idee, eine beliebige Funktion durch Polynome möglichst gut anzunähern. Bei der Fourier-Entwicklung versucht man, eine beliebige Funktion durch Sinus- und Kosinusfunktionen anzunähern. Moment, wird man sich jetzt fragen, wie soll man z. B. eine Gerade durch kurvige Sinus- und Kosinusfunktionen annähern? Antwort: durch sehr, sehr viele Sinus- und Kosinusfunktionen.

Markus Otto

11. Partielle Differenzialgleichungen

Zusammenfassung

Eine partielle Differenzialgleichung ist eine DGL mehrerer Veränderlicher, das bedeutet, es tauchen Variablen und partielle Ableitungen beliebiger Ordnung gleichzeitig in einer Gleichung auf. Analog zu gewöhnlichen Differenzialgleichungen werden hier Anfangsbedingungen (und ggf. Randbedingungen) benötigt, um die Lösung eindeutig bestimmen zu können.

Markus Otto

12. Einfache Anwendungen in der Mechanik

Zusammenfassung

In diesem und im nächsten Kapitel werden wir die in den bisherigen Kapiteln erlernten mathematischen Methoden anhand ausgewählter Themen aus der Mechanik und Elektrodynamik anwenden. Wir starten mit der Mechanik.

Markus Otto

13. Einfache Anwendungen in der Elektrodynamik

Zusammenfassung

Im letzten Kapitel werden wir die erlernten mathematischen Methoden in ausgesuchten Teilen der Elektrodynamik anwenden. Hierbei wird es vor allem um bewegte geladene Teilchen und das Verhalten elektromagnetischer Felder selbst gehen.

Markus Otto

Backmatter

Titel: Rechenmethoden für Studierende der Physik im ersten Jahr
verfasst von: Markus Otto
Verlag: Spektrum Akademischer Verlag
Electronic ISBN: 978-3-8274-2456-3
Print ISBN: 978-3-8274-2455-6
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-8274-2456-3

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