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2011 | Buch

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Elementare und algebraische Zahlentheorie

Ein moderner Zugang zu klassischen Themen

verfasst von: Stefan Müller-Stach, Priv.-Doz. Dr. Jens Piontkowski

Verlag: Vieweg+Teubner

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Primzahlen

Zusammenfassung

Einer der Hauptgegenstände der Zahlentheorie sind die Primzahlen, die wir als die natürlichen Zahlen ungleich 1 definieren können, die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind. Die wichtigsten Fragen über Primzahlen sind:

1.

Wie kann man feststellen, ob eine natürliche Zahl p eine Primzahl ist?

2.

Kann man auf einfacheWeise eine sehr große Primzahl finden?

3.

Wie viele Primzahlen gibt es?

4.

Wie sind die Primzahlen in den natürlichen Zahlen verteilt?

Stefan Müller-Stach, Jens Piontkowski

2. Teilbarkeitstheorie

Zusammenfassung

Im ersten Abschnitt haben wir die Primzahlen als natürliche Zahlen ungleich 1 definiert, die nur 1 und sich selbst als Teiler haben. Dies kann man so verstehen, dass die Primzahlen unzerlegbar sind:Wenn man eine Primzahl p in ein Produkt zweier natürlicher Zahlen zerlegt, ist die eine davon p und die andere 1. Zum Beispiel kann man 13 nur zerlegen als 13=13• 1, 6 jedoch als 6= 6• 1=2 3. Jeder kennt auch noch eine weitere Charakterisierung einer Primzahl p : Falls p das Produkt zweier natürlicher Zahlen teilt, dann teilt p bereits eine dieser Zahlen. Zum Beispiel teilt 13 das Produkt 39• 21 und damit (hier) den ersten Faktor 39= 3• 13, aber obwohl 6 das Produkt 4• 9 teilt, teilt sie weder 4 noch 9.

Stefan Müller-Stach, Jens Piontkowski

3. Der ggT und der euklidische Algorithmus

Stefan Müller-Stach, Jens Piontkowski

4. Kongruenzrechnung

Zusammenfassung

Bei der Kongruenzrechnung betrachten wir die ganzen Zahlen “bis auf Vielfache” einer natürlichen Zahl n∈ ℕ

Stefan Müller-Stach, Jens Piontkowski

5. Die Ringeℤ/nℤ

Zusammenfassung

In diesem Abschnitt wollen wir die Ergebnisse des letzten abstrahieren und vertiefen. Wir starten mit der folgenden offensichtlichen Bemerkung.

Stefan Müller-Stach, Jens Piontkowski

6. Endlich erzeugte abelsche Gruppen

Zusammenfassung

In den letzten Abschnitten haben wir die Ringe ℤ und ℤn ℤ kennengelernt, in diesem Abschnitt betrachten wir nur noch ihre additive Gruppenstruktur. Ziel des Abschnittes ist es zu zeigen, dass jede endlich erzeugte abelsche Gruppe ein direktes Produkt aus diesen Gruppen ist. Starten wir mit einigen Definitionen.

Stefan Müller-Stach, Jens Piontkowski

7. Die Struktur der Einheitengruppen Un

Zusammenfassung

Nachdem wir im letzten Abschnitt sämtliche endlichen abelschen Gruppen kennengelernt haben, stellt sich natürlich die Frage, welche Struktur die Gruppe U_n hat. Wegen des chinesischen Restsatzes in der Form von Lemma 5.13 können wir uns auf den Fall n =p^r beschränken. Wir werden zeigen, dass alle diese Gruppen U_pr zyklisch sind — mit Ausnahme der U ₂r für r≥3.

Stefan Müller-Stach, Jens Piontkowski

8. Quadratische Reste

Stefan Müller-Stach, Jens Piontkowski

9. Quadratsätze

Zusammenfassung

In diesem Abschnitt werden wir zeigen, welche Zahlen als Summe von zwei Quadraten geschrieben werden können. Wir werden sehen, dass auch drei Quadrate nicht ausreichen, um jede Zahl darzustellen, sondern dies erst mit vier Quadraten möglich ist.

Stefan Müller-Stach, Jens Piontkowski

10. Kettenbrüche

Stefan Müller-Stach, Jens Piontkowski

11. Primzahltests

Zusammenfassung

In diesem Abschnitt wollen wir diskutieren, wie man entscheiden kann, ob eine gegebene Zahl n ∈ ℕ prim ist. Dazu könnte man natürlich auch die Faktorisierungsalgorithmen des nächsten Abschnittes verwenden, diese haben jedoch eine wesentlich schlechtere Laufzeit.

Stefan Müller-Stach, Jens Piontkowski

12. Faktorisierungsalgorithmen

Zusammenfassung

Sei n eine zusammengesetzte natürliche Zahl. In diesem Abschnitt wollen wir diskutieren, wie man möglichst schnell die Primfaktorzerlegung von n finden kann. Dafür reicht es aus, Algorithmen zu entwickeln, bei denen n nicht–trivial in ein Produkt zweier natürlicher Zahlen zerlegt werden kann. Die rekursive Anwendung des Algorithmus auf die einzelnen Faktoren liefert schließlich die vollständige Zerlegung von n. Die Frage, wie viel Zeit es kostet, eine große Zahl zu faktorisieren, ist hochgradig aktuell, weil viele moderne kryptographischeVerfahren auf der Annahme beruhen, dass man bei sehr großen Zahlen die großen Primfaktoren nur mit sehr großem Zeitaufwand finden kann.

Stefan Müller-Stach, Jens Piontkowski

13. p –adische Zahlen

Zusammenfassung

Im Abschnitt 8 haben wir quadratische Gleichungen im Körper 𝔽p=𝔽/p𝔽gelöst.Wie kann man Gleichungen in den Ringen 𝔽/p ^k𝔽,die ja noch nicht einmal Integritätsringe sind, lösen?

Stefan Müller-Stach, Jens Piontkowski

14. Quadratrestklassen und Hilbert–Symbole

Stefan Müller-Stach, Jens Piontkowski

15. Der Satz von Hasse–Minkowski

Stefan Müller-Stach, Jens Piontkowski

16. Zahlkörper

Zusammenfassung

Zahlkörper sind der Hauptgegenstand für Überlegungen in der algebraischen Zahlentheorie.

Stefan Müller-Stach, Jens Piontkowski

17. Teilertheorie im Ring ganzer Zahlen

Zusammenfassung

In diesem Abschnitt wollen wir die Einheiten des Ringes ganzer Zahlen eines Zahlkörpers bestimmen — oder zumindest Aussagen über die Struktur dieser Gruppe machen. Wir werden das für quadratische Zahlkörper genau durchführen und die Ergebnisse über beliebige Zahlkörper zitieren.

Stefan Müller-Stach, Jens Piontkowski

18. Die Idealklassengruppe

Stefan Müller-Stach, Jens Piontkowski

19. Die Klassenzahl quadratischer Zahlkörper

Zusammenfassung

Ziel des Abschnittes ist es, einen Algorithmus zu entwickeln, mit dem wir ein Repräsentantensystem der Idealklassengruppe eines quadratischen Zahlkörpers bestimmen können. Dazu bringen wir zunächst die ganzen Ideale von ℴ _K in eine Normalform.

Stefan Müller-Stach, Jens Piontkowski

Backmatter

Titel: Elementare und algebraische Zahlentheorie
verfasst von: Stefan Müller-Stach
Priv.-Doz. Dr. Jens Piontkowski
Copyright-Jahr: 2011
Verlag: Vieweg+Teubner
Electronic ISBN: 978-3-8348-8263-9
Print ISBN: 978-3-8348-1256-8
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-8348-8263-9

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