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2011 | Buch

Entstehung und inhaltliche Ausrichtung des Buches Kapitel lesen Erstes Kapitel lesen

Lernen aus Musterlösungen zur Analysis und Linearen Algebra

Ein Arbeits- und Übungsbuch

verfasst von: Dr. Christoph Ableitinger, Angela Herrmann

Verlag: Vieweg+Teubner

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Die Bewältigung des Grundstudiums Mathematik entscheidet sich großteils am erfolgreichen Lösen der gestellten Übungsaufgaben. Dies erfordert jedoch eine Professionalität, in die Studierende erst langsam hineinwachsen müssen. Das vorliegende Buch möchte sie bei diesem Prozess unterstützen. Es schafft Vorbilder in Gestalt ausführlicher Musterlösungen zu typischen Aufgaben aus Analysis und Lineare Algebra. Zusätzlich liefert es Anleitungen, wesentliche Strategien und Techniken zu verstehen, einzuüben und zu reflektieren.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Einleitung, Theorie

Frontmatter
1. Entstehung und inhaltliche Ausrichtung des Buches
Zusammenfassung
Diskontinuität. Der Übergang von der Schul- zur Hochschulmathematik fällt erfahrungsgemäß vielen Studierenden sehr schwer. Sie erkennen das Schulfach, das in aller Regel mit guten Noten absolviert wurde, an der Hochschule nicht wieder. Stattdessen werden sie mit einer neuen Art des Denkens, mit neuen, andersartigen Fragestellungen und einem hohen Maß an Abstraktheit konfrontiert. Man spricht in diesem Zusammenhang zuweilen von einer Diskontinuität zwischen Schule und Hochschule, die erst überwunden werden müsse. Die hohen Abbrecherquoten in den ersten beiden Semestern des Mathematikstudiums unterstreichen deutlich, dass die Mathematik- Fachbereiche dieses Problem noch nicht in zufriedenstellender Weise lösen konnten. Ein Ansatz läge sicher darin, Studieninteressenten schon vorab besser darüber zu informieren, was sie in einem Mathematikstudium erwartet. Dadurch könnten falsche Vorstellungen schon im Keim erstickt und so die Entscheidungen für bzw. gegen die Studienwahl erleichtert werden.
Christoph Ableitinger, Angela Herrmann
2. Lerntheoretische Grundlagen
Zusammenfassung
Lernen aus Lösungen. Das Lernen aus Musterlösungen ist keine neue Idee. Sowohl die Kognitionspsycholgie wie auch die Bildungswissenschaften haben sich damit auseinandergesetzt. In diesem Abschnitt möchten wir gerne je einen wissenschaftlichen Ansatz aus diesen beiden Disziplinen vorstellen. Sie fungieren als theoretisches Fundament unserer Arbeit. Jeweils am Ende der Vorstellung finden Sie Literaturhinweise zumweiteren Vertiefen in die Thematik.
Christoph Ableitinger, Angela Herrmann
3. Phasenmodell
Zusammenfassung
Phasen beim Aufgabenlösen. In diesem Kapitel stellen wir ein Werkzeug zur Aufgabenanalyse vor, das wir in unserer fachdidaktischen Forschung entwickelt haben. Es stellt die beim mathematischen Aufgabenlösen ablaufenden Prozesse dar und erlaubt es demzufolge, die entscheidenden Phasen in Aufgabenlösungen zu detektieren. Dabei gewinnt man Einsicht in die Schwierigkeiten, mit denen Studierende üblicherweise beim Bearbeiten ihrer Aufgaben konfrontiert werden. Wir nutzen dieses Analysewerkzeug in den Kapiteln 4 bis 7, indem wir die ablaufenden Phasen in den ausführlichen Musterlösungen am Seitenrand markieren.
Christoph Ableitinger, Angela Herrmann

Ausführliche Musterlösungen

Frontmatter
4. Musterlösungen aus der Analysis 1
Zusammenfassung
Anspruch an die Musterlösungen. Im Vergleich zu den üblicherweise im Lehrbetrieb oder in Lehrbüchern eingesetzten komprimierten Musterlösungen möchten die ausführlichen Musterlösungen in diesem Buch zusätzliche Informationen bereitstellen, die für den Lernprozess wichtig sein können. Wir möchten nicht bloß die Lösung der Aufgabe darstellen, sondern auch ein paar Worte darüber verlieren, was eigentlich das Interessante an der Aufgabe ist. Wir möchten klären, inwiefern es gewinnbringend sein kann, sich mit der Aufgabe zu beschäftigen. Außerdem wird auch auf das Entwickeln und Ausformulieren von Lösungsideen Wert gelegt. Wir versuchen zu motivieren, wie man auf eine Lösungsstrategie überhaupt kommt. Manchmal passiert es beim Aufgabenlösen, dass man an irgendeiner Stelle feststeckt und es auf eine andere Art und Weise versuchen muss. Auch solche Situationen haben wir in unseren Musterlösungen abgebildet, sofern der Ablauf dadurch nicht verwirrend wird und zu sehr vom funktionierenden Lösungsweg wegführt. Jedenfalls werden aber die entscheidenden Punkte in der Lösung hervorgehoben und detailliert beschrieben. Nach Möglichkeit sind alle Argumentationsschritte aufgeführt, sodass Sie dem Lösungsstrang in aller Regel gut folgen können sollten.
Christoph Ableitinger, Angela Herrmann
5. Musterlösungen aus der Analysis 2
Zusammenfassung
Ausführliche Lösung 5.1. Wir sollen in dieser Aufgabe feststellen, ob sich die Funk- B tionen in (0, 0) so definieren lassen, dass sie stetig werden. Auf ℝ2 \ {(0, 0)} sind die beiden Funktionen als Kompositionen stetiger Funktionen offensichtlich stetig.
Christoph Ableitinger, Angela Herrmann
6. Musterlösungen aus der Linearen Algebra 1
Zusammenfassung
Ausführliche Lösung 6.1. Wir beweisen mit vollständiger Induktion, da es sich hier- K bei umeine Aussage über die natürlichen Zahlen handelt!.
Christoph Ableitinger, Angela Herrmann
7. Musterlösungen aus der Linearen Algebra 2
Zusammenfassung
Ausführliche Lösung 7.1. In dieser Aufgabe soll die Formel für die Determinante der Vandermonde-Matrix V(a1, … , a n ) bewiesen werden.
Christoph Ableitinger, Angela Herrmann

Übungsteil

Frontmatter
8. Verfassen ausführlicher Musterlösungen
Zusammenfassung
Komprimierte Lösungen als Ausgangspunkt. In den Kapiteln 4 bis 7 sind viele ausführliche Musterlösungen dargestellt worden, die zum gründlichen Durcharbeiten gedacht sind. Im Kapitel 8 sollen Sie nun selbst ausführliche Musterlösungen schreiben. Sie sollen sich dabei vorerst ausschließlich auf das Struktuieren, das treffende Formulieren und das Abwägen, welche Informationen in einer solchen ausführlichen Musterlösung vorkommen sollen, konzentrieren können. Zu diesem Zweck stellen wir Ihnen in den Abschnitten 8.1 bis 8.4 eine Reihe komprimierter Musterlösungen zur Verfügung. Diese sollen Sie zu ausführlichen Musterlösungen ausarbeiten. Sie werden dadurch noch vom kognitiv belastenden Aufgabenlösen an sich befreit, müssen also lediglich die vorliegende knapp gehaltene Lösung verstehen und sie detaillierter ausformulieren. Für den Beginn ist das aber sicher anspruchsvoll genug! In Ihrem Studium haben Sie ja ohnehin Gelegenheit, auch selbstständig Aufgaben zu lösen.
Christoph Ableitinger, Angela Herrmann
9. Verfassen komprimierter Musterlösungen
Zusammenfassung
Ausführliche Musterlösungen als Ausgangspunkt. Die ausführlichen Musterlösungen aus Teil II des Buches sollen nun Ihre Grundlage für das Verfassen komprimierter Musterlösungen sein. Das prägnante Aufschreiben mathematischer Texte ist eine wichtige Fähigkeit, die Sie in Ihrem Studium unbedingt erlernen sollten. Um etwas griffig und treffend aufschreiben zu können, muss man es aber zunächst einmal gedanklich durchdrungen haben. Erst dann können Sie nämlich entscheiden, welche Aspekte Sie in den Text aufnehmen und welche Sie getrost weglassen können. Insofern halten wir es für einen guten Weg, wenn Sie zunächst mit einer ausführlichen Musterlösung arbeiten und sie zu verstehen versuchen. Danach sollen Sie abwägen, welche Informationen für die Darstellung der Lösung unverzichtbar sind. Diese Informationen sollen Sie schließlich zu einer komprimierten Musterlösung vereinen.
Christoph Ableitinger, Angela Herrmann

Lösungsvorschläge

Frontmatter
10. Lösungsvorschläge zu den Verständnisfragen und Übungen aus Teil II
Zusammenfassung
Nein. Das Berechnen der beiden Grenzwerte kann zwar in manchen Fällen eine Idee liefern, welche Zahlen als Infimum bzw. Supremum in Frage kommen, doch ein Beweis ist das nicht. Es kann nämlich eine Situation wie in Abbildung 10.1 eintreten.
Christoph Ableitinger, Angela Herrmann
11. Lösungsvorschläge zu den Übungen aus Teil III
Zusammenfassung
Ausführliche Lösung zu Übung 8.1 In dieser Aufgabe kann man lernen, mit wichtigen, manchmal „unbeliebten“ mathematischen Operationen und Symbolen umzugehen: Wurzel,Betrag und Ungleichungen.Sie sind vermutlich deshalb unbeliebt, weil sich bei der Arbeit mit ihnen leicht kleine Fehler und Ungenauigkeiten einschleichen können.
Christoph Ableitinger, Angela Herrmann
Backmatter
Metadaten
Titel
Lernen aus Musterlösungen zur Analysis und Linearen Algebra
verfasst von
Dr. Christoph Ableitinger
Angela Herrmann
Copyright-Jahr
2011
Verlag
Vieweg+Teubner
Electronic ISBN
978-3-8348-8335-3
Print ISBN
978-3-8348-1724-2
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-8348-8335-3