Maß- und Integrationstheorie

verfasst von: Prof. Dr. Jürgen Elstrodt

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Dieses Lehrbuch vermittelt dem Leser ein solides Basiswissen, wie es für weite Bereiche der Mathematik unerlässlich ist, insbesondere für die reelle Analysis, Funktionalanalysis, Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematische Statistik. Thematische Schwerpunkte sind Produktmaße, Fourier-Transformation, Transformationsformel, Konvergenzbegriffe, absolute Stetigkeit und Maße auf topologischen Räumen. Höhepunkte sind die Herleitung des Rieszschen Darstellungssatzes mit Hilfe eines Fortsetzungsresultats von Kisyński und der Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Haarschen Maßes. Ferner enthält das Buch einen Abschnitt über Konvergenz von Maßen und den Satz von Prochorov. Der Text wird aufgelockert durch zahlreiche mathematikhistorische Ausflüge und Kurzporträts von Mathematikern, die zum Thema des Buches wichtige Beiträge geliefert haben. Eine Vielzahl von Übungsaufgaben vertieft den Stoff.Die vorliegende achte Auflage dieses Buches erscheint mit erweitertem und aktualisiertem Inhalt. Zusätzlich wurde der Text lesefreundlicher gestaltet.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

σ-Algebren und Borelsche Mengen

Zusammenfassung

In diesem ersten Kapitel beschäftigen wir uns mit Systemen von Mengen, die als Definitionsbereiche für die in Kapitel II einzuführenden Inhalts- und Maßfunktionen in Betracht kommen. Dass hier der Wahl angemessener Definitionsbereiche eine erhebliche Bedeutung zukommt, ergibt sich aus den Paradoxien, die sich im Zusammenhang mit dem sog. Inhaltsproblem ergeben haben. Insbesondere werden die Borelschen Mengen diskutiert.

Jürgen Elstrodt

Inhalte und Maße

Zusammenfassung

1. Definitionen und erste Folgerungen. Die wichtigste Eigenschaft des elementargeometrischen Volumenbegriffs ist die Additivität: Das Volumen der disjunkten Vereinigung endlich vieler Mengen ist gleich der Summe der Volumina der Teilmengen. Beim Aufbau einer axiomatischen Theorie von Inhalt und Maß wird diese Eigenschaft als Axiom an die Spitze gestellt. Zentrale Sachverhalte sind der Fortsetzungssatz über die Fortsetztbarkeit von Prämaßen zu Maßen und der zugehörige Eindeutigkeitssatz. Insbesondere wird das Lebesgue-Maß eingehend diskutiert.

Jürgen Elstrodt

Messbare Funktionen

Zusammenfassung

Messbare Funktionen sind für die Integrationstheorie von entscheidender Bedeutung, da als Integranden nur messbare Funktionen vorkommen. Um den Begriff der Messbarkeit von Funktionen zu motivieren, erinnern wir kurz an den Begriff des Riemann-Integrals und stellen ihm die Ideen gegenüber, die Lebesgue zur Einführung seines Integralbegriffs dienen. Insbesondere bestimmen wir das Bildmaß des Lebesgue-Maßes unter bijektiven affinen Abbildungen, und wir beweisen die Existenz nicht messbarer Mengen für das Lebesgue-Maß und die Lebesgue-Stieltjesschen Maße.

Jürgen Elstrodt

Das Lebesgue-Integral

Zusammenfassung

Bei der Einführung des Integralbegriffs folgen wir einem Weg, der im Wesentlichen von W.H. Young vorgeschlagen wurde und der sich auf die Benutzung monotoner Folgen stützt. Dieser Zugang zeichnet sich dadurch aus, dass von vornherein auch unbeschränkte Funktionen und Maßräume unendlichen Maßes ohne jeden Mehraufwand einbezogen werden, und die konstruktive Integraldefinition liefert automatisch für viele Aussagen einen effizienten Beweisansatz. Die Brücke zur ursprünglichen Definition von Lebesgue schlagen wir in Aufgabe 3.1. Zentrale Ergebnisse sind die klassischen Konvergenzsätze von Levi, Fatou und Lebesgue und die Stetigkeits- und Differenzierbarkeitseigenschaften von Integralen, die von einem Parameter abhängen. Eine beschränkte Funktion f auf einem kompakten Intervall erweist sich genau dann als Riemann-integrierbar, wenn die Menge ihrer Unstetigkeitsstellen eine Lebesguesche Nullmenge ist, und dann stimmen das Riemann- und das Lebesgue-Integral von f überein.

Jürgen Elstrodt

Produktmaße, Satz von Fubini und Transformationsformel

Zusammenfassung

Das folgende Kapitel ist vornehmlich der Diskussion „mehrfacher‟ Integrale gewidmet. Zentrale Sätze sind der Satz von Fubini und die Transformationsformel. Der Satz von Fubini gestattet die Reduktion mehrfacher Integrale auf einfache. Die Transformationsformel ist das p-dimensionale Analogon der Substitutionsregel für das Riemann-Integral. Als wichtige Beispiele für Anwendungen der Theorie behandeln wir die Faltung und die Fourier-Transformation.

Jürgen Elstrodt

Konvergenzbegriffe der Maßund Integrationstheorie

Zusammenfassung

Wir beweisen zunächst die klassischen Ungleichungen von Jensen, Hölder und Minkowski und stellen fest: Für p ≥ 1 bildet die Menge der messbaren reellwertigen Funktionen, deren p-te Potenz des Betrages integrierbar ist, einen vollständigen halbnormierten Vektorraum (Satz von Riesz-Fischer). Die Konvergenz im Sinne der Halbnorm dieses Raumes heißt die Konvergenz im p-ten Mittel. Als Beispiele für weitere Konvergenzbegriffe behandeln wir die gleichmäßige Konvergenz, die punktweise Konvergenz fast überall, die fast gleichmäßige Konvergenz, die Konvergenz nach Maß und die schwache Konvergenz. Zwischen diesen Konvergenzbegriffen besteht eine Fülle von Zusammenhängen, die wir ausführlich diskutieren. Anwendungen auf Fouriersche Reihen vertiefen den Stoff.

Jürgen Elstrodt

Absolute Stetigkeit

Zusammenfassung

Ein wesentliches Ziel dieses Kapitels ist die Charakterisierung aller Maße, die bezüglich eines fest vorgegebenen sigma-endlichen Maßes eine Dichte haben. Zentrale Ergebnisse sind der Satz von Radon-Nikodým und der Lebesguesche Zerlegungssatz. Diese Sätze gelten sogar für sog. signierte Maße: Jedes signierte Maß ist darstellbar als Differenz von Maßen (Jordanscher Zerlegungssatz). Speziell beweisen wir den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung für das Lebesgue-Integral und den Lebesgueschen Zerlegungssatz für Lebesgue-Stieltjessche Maße auf der reellen Achse.

Jürgen Elstrodt

Maße auf topologischen Räumen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel studieren wir Maße auf topologischen Räumen, insbesondere auf lokal-kompakten und auf metrischen Räumen. Zunächst behandeln wir Regularitätseigenschaften von Borel-Maßen. Anschließend beweisen wir mehrere Varianten des Darstellungssatzes von Riesz für positive Linearformen auf Räumen stetiger Funktionen. Ein zentrales Resultat ist der Satz von Haar über die Existenz und Eindeutigkeit eines linksinvarianten Radon-Maßes auf jeder lokal-kompakten Hausdorffschen topologischen Gruppe. Im abschließenden Paragrafen diskutieren wir die schwache und die vage Konvergenz von Folgen und die schwache Kompaktheit von Mengen von endlichen Maßen auf einem metrischen Raum und beweisen die Sätze von Helly, Helly-Bray und Prochorov.

Jürgen Elstrodt

Anhang A - Topologische Räume

Zusammenfassung

Im Folgenden stellen wir ohne Beweise einige Begriffe und Sachverhalte aus der Topologie zusammen. Bei Bedarf sind die Lehrbücher von Bourbaki [6], [7], Dugundji [1], Engelking [1], KELLEY [1], V. QUERENBURG [1] und SCHUBERT [1] zuverlässige Ratgeber.

Jürgen Elstrodt

Anhang B - Transfinite Induktion

Zusammenfassung

Wir definieren "naiv" die wohlgeordnete Menge der abzählbaren Ordinalzahlen und beweisen als natürliche Verallgemeinerung des Prinzips der vollständigen Induktion für diese Menge das Prinzip der transfiniten Induktion.

Jürgen Elstrodt

Backmatter

Titel: Maß- und Integrationstheorie
verfasst von: Prof. Dr. Jürgen Elstrodt
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-662-57939-8
Print ISBN: 978-3-662-57938-1
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-57939-8