Mathematik für technische Studiengänge im ersten Studienjahr

Analysis und lineare Algebra von der Theorie zur Anwendung

verfasst von: Prof. Dr. Jonny Dambrowski

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

Einloggen, um Zugang zu erhalten

Über dieses Buch

Das vorliegende Lehr- und Arbeitsbuch, das im Wesentlichen die mathematische Grundausbildung im ersten Studienjahr technisch- und naturwissenschaftlich orientierter Studiengänge abdeckt, verfolgt zwei Ziele: Zum einen sollen praxisrelevante mathematische Methoden eingeübt werden, wie es etwa in ingenieurwissenschaftlichen Studiengängen gefordert wird. Zum anderen sollen Studierende die Fähigkeit erwerben, sich selbstständig in unbekannte mathematische Texte einzuarbeiten. Letzteres ist notwendig, weil eine mathematische Grundausbildung niemals alle Themen abdecken kann, die im weiteren Studium oder später im Arbeitsleben möglicherweise gebraucht werden. Hier würden auswendig gelernte Kochrezepte scheitern – stattdessen sollten Zusammenhänge erkannt werden. Das vorliegende Buch erleichtert dies durch einen formal-theoretischen Rahmen sowie einen logisch konsistenten Aufbau inklusive ausführlicher Beweise für fast alle Behauptungen. Praxisbezüge werden insbesondere hergestellt zur Physik, Signal- und Systemtheorie sowie Energietechnik.

Weitere didaktische Besonderheiten des Buches: Im Text sind kleine Übungen und Verständnisfragen eingestreut, die den Leser beim Durcharbeiten des Stoffes zum aktiven Mitmachen anregen. Nach jedem Abschnitt werden außerdem Übungsaufgaben angeboten, die in Rechen- und Theorieaufgaben unterteilt sind. Erstere dienen dem Anwenden und Einüben der wesentlichen Rechenmethoden, letztere dem Verstehen und Erkennen von Zusammenhängen. Über 250 Abbildungen und Diagramme stärken die Anschauungskraft des Lesers.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Mathematische Grundbegriffe

Zusammenfassung

Um technisch-naturwissenschaftliche Probleme zu lösen, bedient man sich der Sprache der Mathematik. Das bedeutet nicht bloß Prosa in Formeln bzw. Formelbuchstaben zu kleiden und stumpfsinnig Aufgaben runterzurechnen, wie man vielleicht aus der schulischen Erfahrung zu glauben meint, sondern es geht vielmehr darum, mit welcher Präzision und Art und Weise die Mathematik Begriffe und Objekte definiert, und mathematische Resultate, genannt Sätze, formuliert und schließlich auch in aller gebotenen Strenge beweist. Für den Außenstehenden ist das Lesen mathematischer Texte im Besonderen deswegen so schwierig, weil nahezu jedes Wort und jedes Symbol eine ganz präzise Bedeutung hat. Kennt man nur eines nicht, oder hat man nur eines überlesen, geht mitunter der Sinn des Satzes oder ganzen Abschnittes verloren. Wenn also das Buch der Natur in der Sprache der Mathematik geschrieben ist, so muss notwendig auch der Student technisch-naturwissenschaftlicher Fächer sich ein Stück weit mit ihr vertraut machen, im Besonderen im Rahmen der Mathematik-Grundausbildung. Den Boden, auf dem eine fruchtbare Korrespondenz entstehen kann, bereitet die Logik und Mengenlehre, weswegen wir damit gleich beginnen wollen.

Jonny Dambrowski

Kapitel 2. Analysis in

Zusammenfassung

Ziel ist eine Einführung in den Differential- und Integralkalkül reeller Funktionen in einer Veränderlichen. Dazu wiederholen wir zunächst den Begriff der Funktion, klären alsdann den Grenzwertbegriff von Funktionen mittels reeller Zahlenfolgen, der Grundlage für die sodann folgende Differential und Integralrechnung bildet. Im Wesentlichen ist dieses Kapitel eine Wiederholung der Schulmathematik, die jedoch an einigen Stellen vertieft und daher das Schulwissen überschreiten wird.

Jonny Dambrowski

Kapitel 3. Lineare Algebra in reellen Vektorräumen

Zusammenfassung

Grundbegriffe, lineare Abbildungen und Matrizen, Unterräume, Basis und Dimension, Rang und dessen Bestimmung, Lineare Gleichungssysteme, Multilinearität und Determinante, Quadratische Formen, Skalar- und Kreuzprodukt.

Jonny Dambrowski

Kapitel 4. Algebraische Strukturen

Zusammenfassung

Gruppen, Ringe, Körper; komplexe Zahlen und komplexe Funktionen; allgemeine k-Vektorräume.

Jonny Dambrowski

Kapitel 5. Lineare Algebra in k-Vektorräumen

Zusammenfassung

Unter dem Begriff Lineare Algebra versteht man die Theorie der Vektorräume und der linearen Abbildungen zwischen solchen. Entsprechend erweitert sich dieser Begriff zur Multilinearen Algebra, wenn multilineare Abbildungen mit eingeschlossen werden. Bisher haben wir die (Multi-)Lineare Algebra ausschließlich über den reellen Zahlen R betrieben, und uns dabei oftmals auf endlich-dimensionale Vektorräume beschränkt. Es stellt sich daher die Frage, inwieweit sich die bisherige Theorie auf allgemeine Vektorräume über einen beliebigen Körper k übertragen lässt?

Jonny Dambrowski

Kapitel 6. Approximation von Funktionen

Zusammenfassung

Lineare Approximation, Taylor-Polynome und Aproximation n´ter Ordnung.

Jonny Dambrowski

Kapitel 7. Komplexe Potenzreihen und Taylor-Reihen

Zusammenfassung

Ziel dieses Kapitels ist keine Approximation von Funktionen lokal um einen Entwicklungspunkt, durch z.B. Taylor-Polynome, wie im vorangegangenen Abschnitt, sondern die exakte Darstellung von Funktionen durch Potenz- bzw. Taylor-Reihen. Grundlegend dafür ist das Studium der gewöhnlichen Zahlenreihen, die wir hier gleich im Komplexen durchführen wollen. Das hat den Vorteil, die für die Technik wichtigste Funktion, nämlich die komplexe Exponentialfunktion im Kalkül der komplexen Potenzreihen einzuführen.

Jonny Dambrowski

Kapitel 8. Analysis im n

Zusammenfassung

Die Analysis im Rⁿ verallgemeinert den Differential- und Integralkalkül von Funktionen einer Veränderlichen auf Abbildungen in mehreren Variablen mit vektorwertigem Zielbereich. Wesentlich für die Differentialrechnung im Rⁿ wird die Lineare Algebra sein.

Jonny Dambrowski

Backmatter

Titel: Mathematik für technische Studiengänge im ersten Studienjahr
verfasst von: Prof. Dr. Jonny Dambrowski
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-662-62852-2
Print ISBN: 978-3-662-62851-5
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-62852-2