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Über dieses Buch

Dieses Buch ist für Sie geschrieben. Sie zeigen Ihre Neugier dadurch, dass Sie es in die Hand genommen und umgedreht oder diesen Text angeklickt haben. Genau für Menschen wie Sie, die wissen wollen, wie es kommt, dass die Mathematik so universell die Phänomene des modernen Alltags durchzieht, ist dieses Buch geschrieben.

In die folgenden Themen werden Sie eingeführt:

Kryptografie Codierung Graphentheorie Fraktale, Chaos und Ordnung Welt der Funktionen Optimierung als Ziel Computer als Werkzeuge für Mathematik Numerik Stochastik Geometrie Selbstverständnis der Mathematik

Das Besondere an diesem Buch: Sie werden in Ihrem Bedürfnis zu verstehen ernst genommen. Sie werden schrittweise und meist durch Bilder an die tragenden Prinzipien herangeführt. Auf der Website zum Buch können Sie die Bilder selbst „in die Hand nehmen" und variieren. Auf Rechnungen und Umformung von Formeln wird weitestgehend verzichtet, der Devise folgend:

Besser Verstehen ohne zu rechnen als Rechnen ohne zu verstehen.

Website zum Buch: www.mathematik-sehen-und-verstehen.de

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Einleitung

Die PISA-Studie zu Anfang dieses Jahrtausends hat gezeigt, dass etwas schiefläuft mit derMathematik in unseren Landen. Für mich kristallisieren sich aus den Analysen zwei Gründe heraus: Erstens wird in unseren Schulen der kalkülhafte Aspekt zu stark betont, eigenes Erkunden und Nachdenken werden zu wenig gefördert.
Dörte Haftendorn

2. Kryptografie

Vermutlich haben Menschen schon immer Nachrichten ausgetauscht, die nicht jeder erfahren durfte. Einige einfallsreiche Verfahren der abendländischen Geschichte sind bekannt. Bei der griechischen Skytala wurde ein langes Band um einen Stab gewickelt und dann in Längsrichtung des Stabes beschriftet. Nach dem Abwickeln erschienen die Buchstaben in nicht zu deutender Reihenfolge auf dem Band.Wer aber den passenden Stab hatte, wickelte das Band wieder auf und las bequem die Nachricht. Verschlüsselungen mit Alphabetverschiebung haben eine lange Tradition und sind immer mehr verfeinert worden (dazu mehr im nächsten Absatz). Bei uninformierten Gegenspielern nützte schon dasVerwenden erfundenerZeichen anstelle der Buchstaben. Beliebtwaren auch immerwieder unsichtbare Tinten, die durch chemische Prozesse sichtbar gemacht werden konnten. Immer aber mussten im Vorhinein Vereinbarungen zwischen Sender und Empfänger der verschlüsselten Nachricht getroffen werden, deren Kenntnis zum Entschlüsseln notwendig war, aber in unberechtigte Hände gelangen konnten. Hier lag die entscheidende Schwachstelle der “alten” Kryptografie.
Dörte Haftendorn

3. Codierung

In den Noten aus einem Streichquartett von Haydn ist codiert, welche Töne wie lange, in welcher Ausführung und Lautstärke vom ersten Geiger gespielt werden sollen. In “Echtzeit”, wie man sagen könnte, verarbeiten Musiker diesen Code und setzen ihn synchron mit den anderen Spielern inMusik um. Das klappt nur, wenn sie auch schnell erfassen, wie ein ganzer Takt jeweils in Viertel, Achtel, 16tel und 32stel aufgeteilt ist. Das hört sich zwar nach Mathematik an, aber zur Bruchrechnung ist beim Musizieren keine Zeit. Im Bildmuster der Online-Bahnfahrkarte, in Barcode, Buchnummer und Artikelnummer steckt schon mehr Mathematik. Auch hier wird in Sekundenschnelle der Code interpretiert, allerdings nicht von einem menschlichen Gehirn, sondern von einem elektronischen Gerät, das auf mathematischem Weg die Zeichen verarbeitet und die passende Ausgabe veranlasst.
Dörte Haftendorn

4. Graphentheorie

Die Graphentheorie ist in den letzen Jahrzehnten mit groβer Dynamik in ihrer Bedeutung gewachsen. Die Möglichkeit, die Probleme computergerecht zu formulieren, hat zur schnellen Entwicklung beigetragen. Dabei wächst der theoretische Ausbau Hand in Hand mit den Anforderungen aus den Anwendungsfeldern und den wissenschaftlichen Ansprüchen.
Dörte Haftendorn

5. Fraktale, Chaos, Ordnung

Dieses Thema istmathematisch und es ist faszinierend. Es konnte erst umfassender entwickelt werden, als die Computer Grafiken erzeugen konnten. Das war auβerhalb der Universitäten erst seit Ende der 1980er Jahre der Fall. Die Zeitschrift GEO und andere veröffentlichten Ansichten aus dem Apfelmännchen, fraktale Pflanzen und Landschaften, meist nur mit dem vagen Hinweis, das sei “alles Mathematik”. In den Medien ist heute selten etwas darüber zu lesen, aber das gilt für viele Gebiete derMathematik.Medienpräsenz ist für dieMathematik weder ein KriteriumderWichtigkeit noch gar eines derWahrheit.
Dörte Haftendorn

6. Welt der Funktionen

Steinig, klippenreich, unübersehbar vielfältig und unnahbar scheint dieWelt der Funktionen zu sein. In diesem Kapitel zeige ich Ihnen einenWeg in dieseWelt. Der Alpenverein hat den obigen Höhenweg gebahnt, fast eben und auf breiten geraden Platten wird der Wanderer durch die grandiose Bergwelt geführt. Ebenso möchte ich Sie auf gangbaremWeg leiten, bei dem keine spezielle “Ausrüstung” notwendig ist.
Dörte Haftendorn

7. Optimierung als Ziel

Optimierung kann man vielleicht zu den allgemeinen Prinzipien unserer Welt zählen. Während der Evolution haben sichTiere optimal an ihren Lebensraumangepasst. Schon Goethe drückte diese Anpassungen als einen auf sich selbst zurückwirkenden Prozess aus: “Also bestimmt dieGestalt die Lebensweisedes Tieres, und dieseWeise zu leben, sie wirkt auf alle Gestaltenmächtig zurück” [Goethe].Darwin hat dies als Evolutionstheorie präzisiert und durch viele Beobachtungen untermauert.Die Biologen sprechen z. B. von der Funktionsgestalt des Fisches, die für vorwärts schwimmendeWesen optimal ist. Sie ist nicht nur bei den eigentlichen Fischen ausgeprägt, sondern z. B. auch beiWalen und Delfinen. Die Menschen haben diese Optimierungsidee für Schiffsrümpfe, Luftschiffe, Flugzeuge, Lokomotiven und vieles mehr übernommen.
Dörte Haftendorn

8. Computer und Mathematik

An meinem Studienort, der Technischen Universität Clausthal, gab es Ende der 1960er Jahre einumgewidmetesWohnhaus -Villa ist schon zu viel gesagt -, in demalleComputer der Hochschule standen. Sie nahmen zwei Räume im Erdgeschoss ein und waren in groβen grauen Stahlschränken verborgen.Wenn man hineingucken durfte, sah man ein buntes Kabelgewirr. Männer in grauen Kitteln wuchteten riesige Magnetbänder zwischen Computern und Lesegeräten hin und her. An diese waren Drucker für Endlospapier oder Plotter angeschlossen. Letztere zeichneten mit einem zweifach geführten Stift technische Pläne. Bildschirme gab es nicht. Im ersten Stock standen einige schrankförmige Lochkartenstanzer, an denen man mit einer Schreibmaschinentastatur Löcher in Programmkarten hämmerte. Ich konnte mir damals überhaupt nicht vorstellen, dass diese Monstren mit meinen Berufszielen als Lehrerin oder meinen Interessen an der “reinen Mathematik” etwas zu tun haben könnten. In meiner Promotionszeit Anfang der 1970er Jahre in Hannover hatte ich die Bedeutung der Computer als allgemeine Zukunftstechnologie immer noch nicht begriffen, habe aber dort einen Kurs zur Computersprache Algol60 besucht, um meine mathematische Bildung abzurunden. In einem einzigen Raum von Wohnzimmergröβe standen allen Studierenden der Technischen Universität Hannover die oben erwähnten Lochkartenstanzer zur Verfügung. Die eigentlichen Rechner habe ich nicht zu Gesicht bekommen, die Ausdrucke waren drei Tage nach Abgabe der Lochkarten auf einem langen Flur aus Papierstapeln herauszusuchen.
Dörte Haftendorn

9. Numerik

Ist erst einmal ein Problem verstanden und passendmathematisch modelliert, so nützt ein theoretischer Lösungsweg wenig, wenn man ihn nicht umsetzen kann. Oft braucht man letztlich “nur” Zahlen, die die Lösung mit hinreichender Genauigkeit repräsentieren. Die Numerik widmet sich derAufgabe, wenigstens näherungsweise Zahlenlösungen zu liefern. Somit greift sie in fast alle mathematischen Teilgebiete ein und bietet numerische Algorithmen an. Auf den Punkt gebracht: Wenn manmit exaktenMethoden nicht mehr weiterkommt, dann geht es meist noch numerisch.
Dörte Haftendorn

10. Stochastik

Der Begriff Stochastik wird heute als Oberbegriff für die drei Gebiete beschreibende Statistik, beurteilende Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie verwendet.
Dörte Haftendorn

11. Geometrie

Schon für die Urmenschen waren das Zählen und das Erfassen des sie umgebenden Raumes wichtige Elemente ihrer Fortentwicklung. Erde messen, wie das griechische Wort Geometrie wörtlich heiβt, wurde bei allen Kulturen, von denen wir wissen, mit groβer Kunstfertigkeit betrieben. Bauwerke, geometrische Muster, aber auch astronomische Kenntnisse zeugen von der Bewältigung geometrischer Aufgaben, aber auch von einer Freude an der Schönheit der Geometrie.
Dörte Haftendorn

12. Selbstverständnis der Mathematik

In diesem Kapitel geht es um die Mathematik als Mathematik, unabhängig von ihrer Nützlichkeit. Die Mathematik ist keine Naturwissenschaft, obwohl sie in vielen modernen Universitäten mit den Naturwi§enschaften eine organisatorische Einheit, eine Fakultät, bildet. Ihre Eigenständigkeit kommt in dem noch recht neuen Ausdruck MINT-Fächer zum Ausdruck, der Mathematik, Informatik, Naturwissenschaft und Technik zusammenfasst. In den Universitäten mit alter Tradition steht sie den Geisteswissenschaften näher, wofür sich auch gute Gründe anführen la§en.
Dörte Haftendorn

13. Lösungen

Dörte Haftendorn

Backmatter

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