Mathematische Formelsammlung für Ingenieure und Naturwissenschaftler

Frontmatter

I. Allgemeine Grundlagen aus Algebra, Arithmetik und Geometrie

Zusammenfassung

Unter einer Menge M versteht man die Zusammenfassung gewisser, wohlunterschiedener Objekte, Elemente genannt, zu einer Einheit.

Lothar Papula

II. Vektorrechnung

Zusammenfassung

Vektoren sind gerichtete Größen, die durch eine Maßzahl und eine Richtung vollständig beschrieben und in symbolischer Form durch einen Pfeil dargestellt werden (Bild a)). Die Länge des Pfeils heißt der Betrag \(\left| {\vec a} \right|\; = \;a\;\) des Vektors \(\vec a\), die Pfeilspitze legt die Richtung des Vektors fest.

Lothar Papula

III. Funktionen und Kurven

Zusammenfassung

Unter einer Funktion von einer Variablen versteht man eine Vorschrift, die jedem Element x∈D genau ein Element y∈w zuordnet. Symbolische Schreibweise: y = f(x).

Lothar Papula

IV. Differentialrechnung

Zusammenfassung

Lothar Papula

V. Integralrechnung

Zusammenfassung

Das bestimmte Integral \(\int\limits_a^b {f(x)\;dx} \) läßt sich für f(x)≥ 0 in anschaulicher Weise als Flächeninhalt A zwischen der stetigen Funktion y = f (x), der x-Achse und den beiden zur y-Achse parallelen Geraden x = a und x = b auffassen.

Lothar Papula

VI. Unendliche Reihen, Taylor- und Fourier-Reihen

Zusammenfassung

Aus den Gliedern einer unendlichen Zahlenfoige 〈a_n〉 = a₁, a₂, a₃, …, a_n, … werden wie foigt Partial- oder Teilsummen s _n gebildet:

$$ s_{n\;} = \;a_{1\;} + a_{2\;} + a_3 + \ldots + a_n = \sum\limits_{k = 1}^n {a_k } $$

(n-te Partialsumme)

Lothar Papula

VII. Lineare Algebra

Zusammenfassung

Unter einer Matrix A vom Typ (m, n) versteht man ein aus m ⋅ n reellen Zahlen bestehendes rechteckiges Schema mit m waagerecht angeordneten Zeilen und n senkrecht angeordneten Spalten

Lothar Papula

VIII. Komplexe Zahlen und Funktionen

Zusammenfassung

Eine komplexe Zahl z = x + jy läßt sich in der Gaußschen Zahlenebene durch einen Bildpunkt p (z) = (x; y) (Bild a)) oder durch einen vom Koordinatenursprung 0 zum Bildpunkt P (z) gerichteten Zeiger \(\underline z = x + jy\) (unterstrichene komplexe Zahl, Bild b)) bildlich darstellen. Die Länge des Zeigers heißt der Betrag I z I der komplexen Zahl z = x + jy:

×

Lothar Papula

IX. Differential- und Integralrechnung für Funktionen von mehreren Variablen

Zusammenfassung

Unter einer Funktion von zwei unabhängigen Variablen versteht man eine Vorschrift, die jedem geordneten Zahlenpaar (x ; y) aus einer Menge D genau ein Element z aus einer Menge W zuordnet. Symbolische Schreibweise: z = f(x;y).

Lothar Papula

X. Gewöhnliche Differentialgleichungen

Zusammenfassung

Eine Gleichung, in der Ableitungen einer unbekannten Funktion y = y (x) bis zur n-ten Ordnung auftreten, heißt eine gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung.

$$ Implizite\;Form:\quad F(x;y;y';\; \ldots \;;y^{(n)} )\; = \;0 $$

$$ Explizite\;Form:\quad y^{(n)} \; = \;f(x;y;y';\; \ldots \;;y^{(n - 1)} ) $$

Lothar Papula

XI. Fehler- und Ausgleichsrechnung

Zusammenfassung

Die Fehler- und Ausgleichsrechnung beschäftigt sich mit den zufälligen oder statistischen Meß- oder Beobachtungsfehlern auf der Grundlage der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik.

Lothar Papula

XII. Laplace-Transformation

Zusammenfassung

Die Laplace-Transformation ist eine Integraltransformation. Sie ordnet einer (in den Anwendungen meist zeitabhängigen) Funktion f (t) mit f (t) = 0 für t < 0 wie folgt eine Funktion F (s) der (komplexen) Variablen s zu:

$$ F(s)\; = \;\int\limits_0^\infty {f(t)\; \cdot \;e^{ - st} \;dt\;({Re} (s)\; > \;0)} $$

Lothar Papula

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