nach oben

Erschienen in:

2020 | OriginalPaper | Buchkapitel

13. Mathematische Grundlagen

verfasst von : Frank Romeike, Peter Hager

Erschienen in: Erfolgsfaktor Risiko-Management 4.0

Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden

Einloggen

Aktivieren Sie unsere intelligente Suche, um passende Fachinhalte oder Patente zu finden.

search-config

KI-gestützte Suche

Aus

Zusammenfassung

Im mathematischen Anhang sind die wesentlichen statischen und mathematischen Grundlagen für die Umsetzung eines quantitativen Risiko-Managements zusammengefasst. Der Anhang vertieft die in den vorangegangenen Kapiteln beschriebenen Methoden zur quantitativen Risikobewertung sowie zur Berechnung und Interpretation geeigneter Risikomaße. Einen Schwerpunkt bildet hierbei die Stochastik als ein Teilgebiet der Mathematik. Die Stochastik fasst die Gebiete Wahrscheinlichkeitstheorie und Mathematische Statistik zusammen. Im mathematischen Anhang wird die Modellierung von Risikoprozessen als Random Walk beschrieben. Außerdem werden ausgewählte Risikomaße (u.a. der Value at Risk) im Detail vorgestellt. Außerdem wird die Prüfung einer Verteilungsannahme dargestellt. Weitere Abschnitte beschäftigen sich mit der Parametrisierung von Risikomodellen sowie der Berücksichtigung von Korrelationen zur Beschreibung von Abhängigkeiten zwischen Risiken. Abschließend wird der Unterschied zwischen "Cash Flow at Risk" und "Value at Risk" dargestellt.

Mathematik: Die Wissenschaft, bei der man weder weiß, wovon man spricht, noch ob das, was man sagt, wahr ist. (Bertrand Russell, 1872–1970, britischer Philosoph und Mathematiker)

Sie haben noch keine Lizenz? Dann Informieren Sie sich jetzt über unsere Produkte:

Springer Professional "Wirtschaft+Technik"

Online-Abonnement

Mit Springer Professional "Wirtschaft+Technik" erhalten Sie Zugriff auf:

über 102.000 Bücher
über 537 Zeitschriften

aus folgenden Fachgebieten:

Automobil + Motoren
Bauwesen + Immobilien
Business IT + Informatik
Elektrotechnik + Elektronik
Energie + Nachhaltigkeit
Finance + Banking
Management + Führung
Marketing + Vertrieb
Maschinenbau + Werkstoffe
Versicherung + Risiko

Jetzt Wissensvorsprung sichern!

Jetzt informieren

Springer Professional "Wirtschaft"

Online-Abonnement

Mit Springer Professional "Wirtschaft" erhalten Sie Zugriff auf:

über 67.000 Bücher
über 340 Zeitschriften

aus folgenden Fachgebieten:

Bauwesen + Immobilien
Business IT + Informatik
Finance + Banking
Management + Führung
Marketing + Vertrieb
Versicherung + Risiko

Jetzt Wissensvorsprung sichern!

Jetzt informieren

Vorheriges Kapitel Risiko-Management in Projekten

Random Walk bedeutet übersetzt „zufälliger Weg“ oder „zufällige Bewegung“. In der Wissenschaft wird damit ein Zufallsprozess bezeichnet.

Beispielsweise die Black/Scholes-Formel, das Varianz-Kovarianz-Modell und häufig die stochastische Simulation (Monte Carlo Simulation).

Vgl. Kim et al. (1999, S. 87 ff.). Diese Parabel wird zur Verdeutlichung unterschiedlicher Effekte verwendet und ist hier in abgewandelter Form wiedergegeben.

Vgl. Cremers (1999, S. 297–299), Deutsch (2001, S. 27–34), Hull (2001, S. 313–337), Franke et al. (2001, S. 37–47).

Vgl. Jorion (1997, S. 80 f.).

Wegen der Selbstähnlichkeit von Schritt-Vektoren und Summen-Vektor kann der Summen-Vektor als ein Schritt-Vektor eines übergeordneten Summen-Vektors aufgefasst werden.

Vgl. Bosch (1998, S. 332 ff.).

In MS Excel wird der z-Wert einer gewünschten Wahrscheinlichkeit mit der Funktion „= STANDNORMINV(Zelle)“ abgefragt.

Vgl. Hull (2001, S. 314 ff.).

Für eine ausführliche Darstellung der Brownschen Bewegung zur Simulation von Kurspfaden vgl. Schäfer (1994, S. 30 ff.).

Vgl. vertiefend Romeike (2020, S. 31).

Vgl. Deutsch (2001, S. 29), Hull (2001, S. 314 ff.).

Vgl. Tomaszewski (2000, S. 125).

Vgl. Deutsch (2001, S. 33).

In der Tabellenkalkulation MS Excel führt der Befehl „= Zufallszahl()“ zu den gewünschten gleichverteilten Zufallszahlen. Seit Excel 2010 wird zum Generieren von Zufallszahlen den Mersenne Twister-Algorithmus verwendet. Für normalverteilte Zufallszahlen lautet die Exzel-Funktion: =NORMVERT(ZUFALLSZAHL();0;sigma;)

Die Abkürzung VaR steht für Value at Risk.

Die einzelnen Schritte werden bei Deutsch (2001, S. 368–370) ausführlich dargestellt und deshalb hier nicht im Detail wiedergegeben.

Datenanbieter wie etwa Bloomberg, Reuters und Datastream bieten aber auch andere Volatilitäten an (beispielsweise für 3 Monate).

Die Normalverteilung ergibt sich als Folge des Zentralen Grenzwertsatzes für unabhängige Zufallsvariablen. Vgl. Deutsch (2001, S. 29).

Vgl. Hager (2004, S. 61 ff.).

Für die Durchführung der beiden Tests vgl. Bosch (1998, S. 370 ff. und 377 ff.). An dieser Stelle soll lediglich eine Interpretation der Testergebnisse erfolgen.

Vgl. Cremers (1999, S. 271 f.).

Vgl. Deutsch (2001, S. 546 ff.).

Vgl. Hull (2001, S. 504, 520 f.).

Für eine mathematisch exakte Definition von schwacher und starker Stationarität mit formalen Bedingungen vgl. Schlittgen und Streitberg (1999, S. 3, 100 f., 104).

Vgl. Bartram (2000a, S. 243).

Vgl. Butler (1999, S. 41), Hull (2001; S. 506 f.), Zangari (1996, S. 217 ff.).

Zur Gleichung von Kupiec für die Berechnung der Vertrauensintervalle vgl. Jorion (1997, S. 95 f.).

Vgl. Rau-Bredow (2001, S. 315).

Im alten Grundsatz I konkretisierte die Deutsche Bundesbank den § 10 Abs. 1 KWG zur Eigenmittelausstattung von Kreditinstituten.

Vgl. BaFin im Internet unter www.bafin.de, vgl. Grundsatz I.

Vgl. Deutsch (2001, S. 372 f.).

Als Zinskonvention werden in diesem Beispiel 360 Zinstage pro Jahr angenommen.

Die Abzinsungsfaktoren wurden jeweils auf 4 Nachkommastellen gerundet.

Vgl. Finger (1997, S. 4 ff.).

Vgl. Jorion (2001, S. 215): Bei einer Skalierung des Value at Risk mit dem Wurzelgesetz wird von einem konstanten Volumen und unabhängigen, identisch verteilten Tagesrenditen ausgegangen.

Vgl. Finger (1997, S. 4 ff.).

Ein Problem ergibt sich beispielsweise aus dem Cash Flow Mapping. Dabei werden die in der Praxis über das gesamte Jahr zu beliebigen Zeitpunkten anfallenden Cash Flows auf wenige Stützstellen zusammengefasst, da für die Risikoberechnungen nur Volatilitäten für ganzjährige Laufzeiten verfügbar sind. Um zum Beispiel das Zinsrisiko einer Zahlung in einem Jahr, zwei Monaten und drei Tagen zu berechnen, wäre zumindest ein Zinssatz und eine Volatilität für diese gebrochene Laufzeit notwendig. Cash Flows fallen bei größeren Portfolios an jedem Handelstag an, entsprechend müssten pro Jahr mit 250 Handelstagen auch 250 Volatilitäten verfügbar sein. In der Praxis werden die anfallenden Cash Flows auf Zeitpunkte verteilt, für die Risikoparameter verfügbar sind. Häufig werden der 1.1. und 31.12. eines Jahres als Stützstellen benutzt. Für eine ausführliche Darstellung des komplizierten Cash-Flow-Mapping-Verfahrens siehe Butler (1999, S. 58–62). Ebenso: Zangari (1996, S. 117–121).

Vgl. Bode und Mohr (1994, S. 364–367).

Vgl. Jorion (1997, S. 97). Für den Standardfehler der Volatilität vgl. Hull (2001, S. 346). Eine umfangreichere Darstellung findet sich bei Deutsch (2001, S. 496–499).

Der Fehler der Annahme, dass der Erwartungswert von Tagesrenditen Null ist, wird als geringer eingeschätzt als der Fehler, der durch die Schätzung des Erwartungswertes auf Basis von historischen Daten resultiert (vgl. Beeck et al. 1999, S. 9).

Die Standardabweichung der logarithmierten relativen Veränderungen beträgt in diesem Zeitraum 0,007327.

In dem zweiseitigen Intervall μ ± 2 σ der Standardnormalverteilung liegen 95, 45 % der Wahrscheinlichkeitsmasse, vgl. Abb. 13.4.

Vgl. Malz und Mina (2001, S. 1–4).

Vgl. Dieckmann (1998, S. 51 ff.), Sauter (1996, S. 14 ff., 28 ff.).

Vgl. Hager (2004, Anhang A).

Vgl. Rau-Bredow (2001, S. 317). Andere Beispiele finden sich bei Jorion (2001, S. 201 f.).

Vgl. Hull (2001, S. 363 f.).

Für Optionen tief im Geld muss der Käufer den hohen inneren Wert mitbezahlen, wodurch diese Optionen von Händlern gemieden werden. Die Optionen tief aus dem Geld sind ebenfalls zuwenig erfolgversprechend, als dass ein aktiver Handel stattfinden würde.

Vgl. Jorion (2001, S. 202).

Vgl. Malz (2001, S. 7 ff.).

Vgl. Hull (2001, S. 523). Im Gegensatz zu der genannten Quelle werden in der hier vorliegenden Arbeit für xi statt der relativen Veränderungen die logarithmierten Veränderungen betrachtet.

Diese Änderung führt zu einem Maximum-Likelihood-Schätzwert (vgl. Hull 2001, S. 523).

Vgl. Krämer et al. (2002, S. 83 ff.), Tschernig (1995, S. 53 ff.).

Vgl. Butler (1999, S. 204), Deutsch (2001, S. 531), Jorion (2001, S. 186 f.).

Beispiel zur Parameterschätzung entnommen aus Hager (2002, S. 86 f.).

Vgl. Butler (1999, S. 193 ff.), Deutsch (2001, S. 506, 511), Frömmel et al. (1999, S. 509), Hull (2001, S. 527 ff.), Oehler und Unser (2001, S. 97).

Vgl. Frömmel et al. (1999, S. 509).

Vgl. Butler (1999, S. 199 ff.), Deutsch (2001, S. 531 ff.), Zangari (1996, S. 77 ff.).

Vgl. Hull(2001, S. 525 f.).

Bei Zangari (1996, S. 94 f.) werden 99,0 % verwendet.

Vgl. Huschens (2000, S. 20).

Vgl. Zangari (1996, S. 94 f.).

Vgl. Deutsch (2001, S. 531). Einen Wert für die Gewichte gibt der Autor nicht an. Die Beziehung zwischen Lambda, der Maße für die Gewichte und dem Zeitfenster wird nicht dargestellt.

Vgl. Butler (1999, S. 203), Deutsch (2001, S. 521), Zangari (1996, S. 98).

Der MQF lässt sich in EXCEL mit Hilfe des Solvers bestimmen.

Vgl. Butler(1999, S. 204 ff.), Oehler und Unser (2001, S. 97 f.).

Vgl. Frömmel et al. (1999, S. 509).

Zur Vertiefung vgl. Deutsch (2001, S. 524 ff.), Franke et al. (2001, S. 171 ff.), Schmidt (2000).

Vgl. Deutsch (2001, S. 514, 529 ff.), Hull (2001, S. 528 ff.), Jorion (1997, S. 170 ff.).

Für einen stabilen GARCH-Prozess muss α + β < 1 sein. Zur Begründung vgl. Hull (2001, S. 538, 539). Für α + β > 1 sollte auf das EWMA-Modell zurückgegriffen werden.

Eine geeignete Kennzahl ist die zum Beispiel die Ljung-Box-Maßzahl (vgl. Hull 2001, S. 536–537). Weitere Gütemaße finden sich bei Deutsch (2001, S. 554 ff.).

Die restlichen beiden Parameter α und β können mit Hilfe eines iterativen Verfahrens wie zum Beispiel dem Solver von Excel geschätzt werden.

Vgl. Butler (1999; S. 206).

Vgl. Hull (2001, S. 528).

Vgl. Frömmel et al. (1999, S. 509).

Vgl. Cremers (1999, S. 305).

Eine Historie von 112 Tagen ist ähnlich zu dem Zeitfenster des EWMA-Modells mit λ = 0,94, jedoch noch ohne exponentielle Gewichtung der in Abb. 13.27 abgetragenen Werte. Das Zeitfenster von 250 Tagen entspricht der traditionellen Betrachtung auf Basis gleichgewichteter Beobachtungen.

Vgl. Malz (2001, S. 2 ff.), CEBS – Committee of European Banking Supervisors: Consultation paper on technical aspects of diversification under Pillar 2, CP20 vom 27.06.2008, http://www.c-ebs.org/Publications/Consultation-Papers/CP11-CP20/CP20.aspx, S. 8 ff.; 21 f.

Datenquelle: Bundesbank-Statistik-Zeitreihendatenbank, www.bundesbank.de.

Vgl. Cremers (1999, S. 307).

Der exponentielle Verlauf von X_1(Z) = e^z bzw. Y_1(Z) = e^1z ist im linken Grafen der Abb. 13.29 wegen der identischen Skalierung bei der Darstellungnur schwach erkennbar.

Vgl. Mina und Yi Xiao (2001; S. 96 f.).

Vgl. Embrechts et al. (1999, S. 13 ff.).

Vgl. Hull (2001, S. 543).

Vgl. Frömmel et al. (1999, S. 506 ff.).

Vgl. Harris-Jones (1998, S. 40–41).

Vgl. Mohr (2001, S. 205), Burmester und Siegl (2001, S. 105 ff.).

Vgl. Finger (1997, S. 4 ff.).

Vgl. Wittrock und Jansen (1996, S. 909).

Vgl. Bartram (1999, S. 76).

Vgl. Bartram (2000b, S. 1269), Harris-Jones (1998, S. 41), Jorion (2001, S. 366 ff.), Lee (1999, S. 3 ff., 10 ff.), Mevay und Turner (1995, S. 84), Pfennig (2000, S. 1298), Schierenbeck und Lister (2001, S. 342 f.).

Vgl. Pfennig (2000, S. 1300, 1306).

Vgl. Finger (1997, S. 4 ff.).

Eine gesicherte Aussage über die Prognosegüte von Cash-Flow-at-Risk-Modellen kann erst durch das abschließende Backtesting über einen längeren Zeitraum erfolgen. In diesem Beispiel handelt es sich lediglich um einen Vergleich der Prognosegüte für eine einzige Risikoprognose.

Vgl. Stocks (1997, S. 77).

Vgl. Shimko (1997, S. 94), Stocks (1997, S. 78).

Bartram, S. M.: Die Praxis unternehmerischen Risikomanagements von Industrie- und Handelsunternehmen, in: Finanz Betrieb, 6/1999, S. 71–77.

Bartram, S. M.: Finanzwirtschaftliches Risiko, Exposure und Risikomanagement von Industrie- und Handelsunternehmen, in: WiSt., 5/2000a, S. 242–249.

Bartram, S. M.: Verfahren zur Schätzung finanzwirtschaftlicher Exposures von Nichtbanken, in: Johanning, L.; Rudolph, B.: Handbuch Risikomanagement, Risikomanagement in Banken, Asset-Management-Gesellschaften, Versicherungs- und Industrieunternehmen, Bad Soden 2000b, S. 1267–1294.

Beeck, H.; Johanning, L.; Rudolph, B.: Value at Risk-Limitstrukturen zur Steuerung und Begrenzung von Marktrisiken im Aktienbereich, in: OR Spektrum – Quantitative Approaches in Management, 1999, Vol. 21, 1–2, S. 259–286.

Bode, M.; Mohr, M.: Alles falsch?, in: Die Bank, Nr. 6/1994, Juni 1994, (1994), S. 364–367.

Bosch, K.: Statistik-Taschenbuch, München 1998.CrossRef

Burmester, C.; Siegl, T.: Strategieorientierte Simulation in der Gesamtbanksteuerung für Markt- und Kreditrisiko, in: Eller, R.; Gruber, W.; Reif, M.: Handbuch Gesamtbanksteuerung – Integration von Markt-, Kredit- und operationalen Risiken, Stuttgart 2001, S. 104–120.

Butler, C.: Mastering Value at Risk – A step by step guide to understanding and applying VaR, Wiltshire GB 1999.

CEBS – Committee of European Banking Supervisors: Consultation paper on technical aspects of diversification under Pillar 2, CP20 vom 27.06.2008, http://www.c-ebs.org/Publications/Consultation-Papers/CP11-CP20/CP20.aspx.

Cremers, H.: Mathematik und Stochastik für Banker, 2. Auflage, Frankfurt/Main 1999.

Deutsch, H.-P.: Derivate und interne Modelle: Modernes Risikomanagement, 2. Auflage, Stuttgart 2001.

Dieckmann, S.: Volatilität und Korrelation in der Zinsstruktur – Parameter in Bewertung und Handel von Cap, Floor und Swaption, Frankfurt/Main 1998.

Embrechts, P.; McNeil, A.; Straumann, D.: Correlation and Dependence in Risk Management: Properties and Pitfalls, Working Paper, ETH Zürich, 1999.

Finger, C. C.: When is a portfolio of options normally distributed?, in: J. P. Morgan/Reuters RiskMetricsTM Monitor, New York, 3. Qu. 1997.

Franke, J.; Härdle, W.; Hafner, C.: Einführung in die Statistik der Finanzmärkte, Berlin 2001.CrossRef

Frömmel, M.; Menkhoff, L.; Tolksdorf, N.: Wechselkursvolatilität und institutsspezifische Value at Risk-Ansätze, in: Die Sparkasse, 11/1999, 116. Jahrgang, S. 506–511.

Hager, P.: Cash Flow at Risk und Value at Risk in Unternehmen, Dissertation an der Universität Siegen 2002, Download unter www.peterhager.de.

Hager, P.: Corporate Risk Management – Cash Flow at Risk und Value at Risk, Frankfurt/Main 2004.

Harris-Jones, J.: Why treasury must tackle all risk, in: Corporate Finance, 6/1998, S. 40–42.

Hedderich, J./Sachs, L.: Angewandte Statistik: Methodensammlung mit R, 16., überarbeitete und erweiterte Auflage, Springer Verlag, Berlin 2018.

Hull, J. C.: Optionen, Futures und andere Derivate, 4. Auflage, München 2001.

Hull, J. C.: Optionen, Futures und andere Derivate, 10. Aufl., München 2019.

Huschens, S.: Value at Risk-Berechnung durch historische Simulation, in: Dresdner Beiträge zu Quantitativen Verfahren Nr. 30/00, Technische Universität Dresden, Fakultät für Wirtschaftswissenschaften, Dresden 2000.

Jorion, P.: Value at Risk – The New Benchmark for Controlling Derivatives Risk, USA 1997.

Jorion, P.: Value at Risk – The New Benchmark for Managing Financial Risk, 2. Auflage, USA 2001.

Kim, J.; Malz, A. M.; Mina, J.: LongRun Technical Document, RiskMetrics Group, New York 1999.

Krämer, W.; Sibbersten, P.; Kleiber, C.: Long memory versus structural change in financial time series, Allgemeines Statistisches Archiv 86, 2002, S. 83–96.CrossRef

Lee, A. Y.: CorporateMetrics™ Technical Document, RiskMetrics Group, New York 1999.

Malz, A. M.: Financial crises, implied volatility an stress testing, Working Paper Number 01–01, RiskMetrics Group, New York 2001.

Malz, A. M.; Mina, J.: Risk measurement in the aftermath of the terrorist attack, Research Technical Note, Risk Metrics Group, New York 2001.

Mevay, J.; Turner, C.: Could companies use Value at Risk?, in: Euromoney, 10/1995, S. 84–86.

Mina, J.; Yi Xiao, J.: Return to RiskMetrics: The Evolution of a Standard, RiskMetrics Group, New York 2001.

Mohr, R.: Gesamtbanksteuerung in Hypothekenbanken, in: Eller, R.; Gruber, W.; Reif, M.: Handbuch Gesamtbanksteuerung – Integration von Markt-, Kredit- und operationalen Risiken, Stuttgart 2001, S. 171–222.

Oehler A.; Unser M.: Finanzwirtschaftliches Risikomanagement, Berlin 2001.CrossRef

Pfennig, M.: Shareholder Value durch unternehmensweites Risikomanagement, in: Johanning, L.; Rudolph, B.: Handbuch Risikomanagement, Risikomanagement in Banken, Asset-Management-Gesellschaften, Versicherungs- und Industrieunternehmen, Bad Soden 2000, S. 1295–1332.

Rau-Bredow, H.: Überwachung von Marktpreisrisiken durch Value at Risk, in: WiSt., 6/2001, S. 315–319.

Romeike, F.: Management von Rohstoffrisiken, in: Schöning/Göğüş/Pernsteiner (Hrsg.): Risikomanagement in Unternehmen – Interkulturelle Betrachtungen zwischen Deutschland, Österreich und der Türkei, Springer Gabler Verlag, Wiesbaden 2017, S. 117–173.

Romeike, F..: Hammade Risklerinin Yönetimi, in: Schöning/Göğüş/Pernsteiner (Derleyen): İşletmelerde Risk Yönetimi: Türkiye, Almanya ve Avusturya Karşılaştırması, Istanbul Bilgi Üniversitesi Yayinlari, Istanbul 2018a.

Romeike, F.: Stochastische Investitionssimulation. Seriöser Umgang mit Unsicherheit bei Investitionsplanungen, in: CFO aktuell, Ausgabe Juli 2018b, S. 167–172.

Romeike, F./Hager, P.: Gute Frage: Was ist ein „Random Walk“, in: Risk, Compliance & Audit (RC&A), 06/2010, S. 11–12.

Romeike, F./Spitzner, J.: Von Szenarioanalyse bis Wargaming – Betriebswirtschaftliche Simulationen im Praxiseinsatz, Wiley Verlag, Weinheim 2013.

Romeike, F.: Markow-Ketten / Markow-Analyse, in: GRC aktuell, Ausgabe 01/2020, S. 31–38.

Sauter, J.: Messung und Prognose von Volatilitäten am Beispiel des DAX-Index, Frankfurt/Main 1996.

Schäfer, K.: Optionsbewertung mit Monte-Carlo-Methoden, Reihe: Quantitative Ökonomie, Band 52, Bergisch Gladbach 1994.

Schierenbeck, H.; Lister, M.: Value Controlling – Grundlagen Wertorientierter Unternehmensführung, München 2001.

Schlittgen, R.; Streitberg, B.: Zeitreihenanalyse, 8. Auflage, München 1999.

Schmidt, M.: Modellierung von Kapitalmarktvolatilität mittels fehlspezifizierter GARCH (p, q)-Prozesse, Lohmar 2000.

Shimko, D. C.: Strategic Risk Management – Applying VAR to Corporate Investment Decisions, in: Deloitte & Touche LLP Risk Publications: Financial Risk and the Corporate Treasury – New Developments in Strategy and Control, London 1997.

Stocks, M. E.: Value at Risk – A Risk Measurement Tool for Corporate Treasurers, in: Deloitte & Touche LLP Risk Publications: Financial Risk and the Corporate Treasury – New Developments in Strategy and Control, London 1997.

Tschernig, R.: Long Memory In Foreign Exchange Rates Revisited, in: Journal of International Financial Markets, Institutions and Money, 5 (2/3) 1995, S. 53–78.

Tomaszewski, C.: Bewertung strategischer Flexibilität beim Unternehmenserwerb – Der Wertbeitrag von Realoptionen, Frankfurt/Main 2000.CrossRef

Wittrock, C.; Jansen, S.: Gesamtbanksteuerung auf Basis von Value at Risk – Ansätzen, in: Österreichisches Bank Archiv, Heft 12/96, 1996, S. 909–918.

Zangari, P.: RiskMetricTM, Technical Document, 4. Auflage, J. P. Morgan/Reuters, New York 1996.

Titel: Mathematische Grundlagen
verfasst von: Frank Romeike
Peter Hager
Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden
Buch: Erfolgsfaktor Risiko-Management 4.0
Print ISBN: 978-3-658-29445-8

Electronic ISBN: 978-3-658-29446-5

Copyright-Jahr: 2020
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-658-29446-5_13

Springer Professional

Zusammenfassung

Bitte loggen Sie sich ein, um Zugang zu Ihrer Lizenz zu erhalten.

Sie haben noch keine Lizenz? Dann Informieren Sie sich jetzt über unsere Produkte:

Springer Professional "Wirtschaft+Technik"

Springer Professional "Wirtschaft"

Premium Partner