Mehrdimensionale lineare Systeme

Systemtheorie ist die Behandlung von Problemen aus verschiedensten Gebieten unter Abstraktion von deren physikalischer Natur. Diese von KÜPFMÜLLER [1.1–1.3] maßgeblich geprägte Betrachtungsweise diente anfangs zur — z.T. idealisierten — Analyse von linearen Zeitsystemen für die Nachrichtenübertragung. Ein System wird danach z.B. durch eine Übertragungsfunktion vollständig beschrieben, die den mathematischen Zusammenhang zwischen Eingangs- und Ausgangssignal darstellt. Außer Spektraltransformationen, wie die Fourier- und Laplace-Transformation, spielen dabei δ-Distributionen eine zentrale Rolle. Seither ist diese bestechend einfache und eindimensionale ‘Eingangs-Ausgangs-Systemtheorie’ vor allem in zwei Richtungen erweitert worden¹: Die Einführung der Zustandsdarstellung von Zeitsystemen [1.5, 1.6] trug den Bedürfnissen der Regelungstechnik und der Automatentheorie Rechnung; die Anwendung der Fourier-Methoden auf mehrdimensionale Signale und Systeme andererseits ermöglichte das Einbringen nachrichtentechnischer Beschreibungsweisen speziell in die Optik [1.7, 1.8]. Die letztgenannte Entwicklung ist nicht etwa nur ein ‘Reimport’ des Fourier-Kalküls in die Physik, sondern tatsächlich eine Betrachtungsweise physikalischer Effekte unter anderen Aspekten: Während in der Physik Spektraltransformationen in erster Linie Hilfsmittel zur Lösung von Differentialgleichungen sind [1.9–1.11], stellen Integraloperatoren (also auch Spektraltransformationen) bei der nachrichtentechnisch orientierten Systemtheorie das Beschreibungsmittel selbst dar.

Für das Verständnis dieses Buches werden Grundkenntnisse der eindimensionalen linearen Systemtheorie mit ihren mathematischen Hilfsmitteln wie δ-Funktionen und Fourier- und Laplace-Transformation vorausgesetzt. Wir können uns also kurz fassen, wenn wir nun am Beispiel der Zeitsysteme die Aussagen der eindimensionalen linearen Systemtheorie diskutieren. Die entsprechenden Rechengesetze werden tabellarisch aufgeführt; detaillierte Erklärungen werden eingeschoben, falls der jeweilige Punkt für die folgenden Kapitel von Bedeutung ist. Der speziell an Zeitsystemen interessierte Leser sei auf die einschlägigen Standardwerke verwiesen [2.1–2.10].

Die Methoden der linearen Systemtheorie sind natürlich nicht nur auf (eindimensionale) Zeitsignale und -systeme anwendbar; vielmehr bietet sich die Erweiterung z.B. der Fourier-Transformation und der Faltungsoperation auf mehrdimensionale Signale an [3.1–3.6]. Diese Erweiterung wäre kein eigenes Kapitel wert, ergäben sich dabei nicht neuartige Gesetzmäßigkeiten. So hat z.B. die Drehung eines mehrdimensionalen Signals im Eindimensionalen keine Entsprechung. Auch die Vielfalt möglicher δ-Funktionen im Mehrdimensionalen verdient gesonderte Betrachtung.

Bei vielen Signalverarbeitungsaufgaben, speziell bei Verwendung von Digitalrechnern, ist die Abtastung von Signalen unumgänglich. In Abschnitt 2.8 haben wir diese durch Multiplikation mit dem δ-Puls p(t/Δt) beschrieben. Im Eindimensionalen ist dies die einzig mögliche Art einer regulären Abtastung; lediglich der Abtastabstand Δt sowie die relative zeitliche Lage des Abtastpulses zum Signal können verändert werden. Unter ‘regulär’ verstehen wir dabei, daß jeder Abtastimpuls dieselbe Umgebung hat. Bei mehrdimensionalen Signalen jedoch ergeben sich eine Vielzahl möglicher regulärer Abtastfunktionen. So ist es z.B. möglich, nur in einer Dimension abzutasten oder mit verschiedenen Abtastabständen für die einzelnen Variablen. Einige der möglichen Abtastschemata werden im folgenden diskutiert.

Die Domäne der eindimensionalen linearen Systemtheorie ist die vereinheitlichte Behandlung von Zeitsystemen. Dagegen haben wir in den vorangegangenen Kapiteln über mehrdimensionale Fourier-Transformation und δ-Funktionen Signale und Variablen meist nicht mit physikalischen Bedeutungen belegt. Dies holen wir nun nach.