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2013 | OriginalPaper | Buchkapitel

2. Motivation for the Finite Element Method

verfasst von : Andreas Öchsner, Markus Merkel

Erschienen in: One-Dimensional Finite Elements

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Abstract

The approach to the finite element method can be derived from different motivations. Essentially there are three ways:
  • a rather descriptive way, which has its roots in the engineering working method,
  • a physical or
  • mathematically motivated approach.
Depending on the perspective, different formulations result, which however all result in a common principal equation of the finite element method. The different formulations will be elaborated in detail based on the following descriptions:
  • matrix methods,
  • physically based working and energy methods and
  • weighted residual method.
The finite element method is used to solve different physical problems. Here solely finite element formulations related to structural mechanics are considered [1, 5‐7, 9‐12].

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Fußnoten
1
The additional index ‘e’ is to be dropped at displacements since the nodal displacement is identical for each linked element in the displacement method.
 
2
In the one-dimensional case the differential operator simplifies to the derivative \(\tfrac{\text{d}}{\text{d} x}\).
 
3
The index ‘e’ of the element coordinate is neglected in the following—in the case it does not affect the understanding.
 
4
Since the static boundary conditions are implicitly integrated in the overall potential, the shape functions do not have to fulfill those. However, if the shape functions fulfill the static boundary conditions additionally, an even more precise approximation can be achieved.
 
5
Usually a separate local coordinate system \(0 \le x^\text{e} \le L^\text{e}\) is introduced for each element ‘e’. The coordinate in Eq. (2.88) is then referred to as global coordinate and receives the symbol \(X\).
 
Literatur
1.
Betten J (2001) Kontinuumsmechanik: Elastisches und inelastisches Verhalten isotroper und anisotroper Stoffe. Springer-Verlag, Berlin
2.
Betten J (2004) Finite Elemente für Ingenieure 1: Grundlagen. Matrixmethoden, Elastisches Kontinuum, Springer-Verlag, Berlin
3.
Betten J (2004) Finite Elemente für Ingenieure 2: Variationsrechnung, Energiemethoden. Näherungsverfahren, Nichtlinearitäten, Numerische Integrationen, Springer-Verlag, Berlin
4.
Brebbia CA, Telles JCF, Wrobel LC (1984) Boundary Element Techniques: Theory and Applications. Springer-Verlag, Berlin
5.
Gross D, Hauger W, Schröder J, Wall WA (2009) Technische Mechanik 2: Elastostatik. Springer-Verlag, Berlin
6.
Gross D, Hauger W, Schröder J, Werner EA (2008) Hydromechanik. Elemente der Höheren Mechanik, Numerische Methoden, Springer-Verlag, Berlin
7.
Klein B (2000) FEM. Grundlagen und Anwendungen der Finite-Elemente-Methode, Vieweg-Verlag, Wiesbaden
8.
Kuhn G, Winter W (1993) Skriptum Festigkeitslehre Universität Erlangen-Nürnberg
9.
Kwon YW, Bang H (2000) The Finite Element Method Using MATLAB. CRC Press, Boca Raton
10.
Oden JT, Reddy JN (1976) Variational methods in theoretical mechanics. Springer-Verlag, Berlin
11.
Steinbuch R (1998) Finite Elemente - Ein Einstieg. Springer-Verlag, Berlin
12.
Szabó I (1996) Geschichte der mechanischen Prinzipien und ihrer wichtigsten Anwendungen. Birkhäuser Verlag, Basel
13.
Zienkiewicz OC, Taylor RL (2000) The Finite Element Method Volume 1: The Basis. Butterworth-Heinemann, Oxford
Metadaten
Titel
Motivation for the Finite Element Method
verfasst von
Andreas Öchsner
Markus Merkel
Copyright-Jahr
2013
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Buch
One-Dimensional Finite Elements

Print ISBN: 978-3-642-31796-5

Electronic ISBN: 978-3-642-31797-2

Copyright-Jahr: 2013

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-642-31797-2_2

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