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2016 | Buch

Numerik für Ingenieure, Physiker und Informatiker

verfasst von: Günter Bärwolff

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Dieses Lehrbuch wendet sich hauptsächlich an Studierende der Ingenieur- und Naturwissenschaften sowie der Informatik, aber auch an in der angewandten Praxis tätige Absolventen dieser Disziplinen.

Es wird ein weites Spektrum von verschiedenen Themenfeldern behandelt, von der numerischen Lösung linearer Gleichungssysteme über Eigenwertprobleme, numerische Integration bis hin zu gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen. Dabei werden jeweils die Methoden diskutiert, die den spezifischen Anforderungen typischer Aufgabenstellungen in der Praxis entsprechen.

Der Autor stellt die Themen in einer Weise dar, die sowohl den wesentlichen mathematischen Hintergrund klar macht, als auch eine unkomplizierte Umsetzung auf praktische Aufgabenstellungen bzw. die Realisierung auf dem Computer ermöglicht.

Vorausgesetzt werden beim Leser lediglich Grundkenntnisse in der Höheren Mathematik, wie sie im Grundstudium für die genannten Fachrichtungen vermittelt werden, wobei einige wichtige Aussagen aus Analysis und linearer Algebra wiederholt werden.

Zu den behandelten Methoden werden octave-Programme angegeben und zum Download angeboten, so dass der Leser in die Lage versetzt wird, konkrete Aufgabenstellungen zu bearbeiten. Mehr als 60 Übungsaufgaben mit Lösungen im Internet erleichtern die Aneignung des Lernstoffes.

Die vorliegende 2. Auflage ist vollständig durchgesehen und um Abschnitte zu den beiden Themen Numerik von Erhaltungsgleichungen (hyperbolischen Differentialgleichungen erster Ordnung) und Singulärwertzerlegung ergänzt.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Einführung

Zusammenfassung

Numerische Rechnungen sind in der Regel mit Fehlern behaftet. Seit der Antike ist bekannt, dass z. B. $\sqrt{2}$ keine rationale Zahl ist. Man hat keine Chance, $\sqrt{2}$ als Dezimalzahl mit endlich vielen Stellen darzustellen. Selbst rationale Zahlen wie z. B. $\frac{1}{3}$ kann man auf Rechnern nicht exakt darstellen, da jeder Rechner nur endlich viele Stellen zur Zahldarstellung zur Verfügung hat. Bei vielen angewandten Aufgabenstellungen hat man es mit fehlerbehafteten Ausgangsgrößen oder Zwischenergebnissen zu tun und interessiert sich für die Auswirkung auf das eigentliche Ziel der Rechnung, das Endergebnis. In diesem Kapitel sollen typische numerische Fehler und ihre mögliche Kontrolle erläutert werden. Außerdem werden Begriffe aus Analysis und linearer Algebra bereitgestellt, die bei der Beurteilung numerischer Berechnungsverfahren von Bedeutung sind.

Günter Bärwolff

2. Direkte Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme

Zusammenfassung

Bei vielen mathematischen Aufgabenstellungen ist es erforderlich, lineare Gleichungssysteme zu lösen. Zum einen führen lineare Modelle oft direkt auf lineare Gleichungssysteme und bei vielen nichtlinearen Aufgabenstellungen kann die Lösung oft durch das sukzessive Lösen linearer Gleichungssysteme erhalten werden. Bei der Analyse und Anpassung von experimentellen Daten an multilineare Gesetze sind letztendlich lineare Gleichungssysteme zu lösen. Als letztes Beispiel sei hier noch auf die numerische Lösung partieller Differentialgleichungen hingewiesen. Hier sind im Ergebnis von Diskretisierungen in der Regel große lineare Gleichungssysteme mit schwach besetzten Koeffizientenmatrizen zu lösen.

Im folgenden Kapitel soll das Hauptaugenmerk auf direkte Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme gerichtet sein. Im Unterschied dazu werden in einem später folgenden Kapitel iterative Verfahren zur Lösung besprochen.

Günter Bärwolff

3. Überbestimmte lineare Gleichungssysteme

Zusammenfassung

Bei der Auswertung von Experimenten oder Messungen in den unterschiedlichsten Disziplinen entsteht oft die Aufgabe, funktionale Beziehungen zu ermitteln, die die experimentellen Daten bzw. die Beziehung zwischen Einflussgrößen und Zielgrößen möglichst gut beschreiben. Hat man nur 2 Messpunkte, dann ist dadurch eine Gerade eindeutig festgelegt, bei 3 Messpunkten eine Parabel usw. Allerdings erhält man in der Regel mehr oder weniger streuende Punktwolken, durch die man Geraden, Parabeln oder andere analytisch fassbare Kurven möglichst so legen möchte, dass die Messpunkte gut angenähert werden. In der Abb. 3.1 ist diese Situation dargestellt.

Solche auch Ausgleichsprobleme genannte Aufgaben führen in der Regel auf die Behandlung überbestimmter, nicht exakt lösbarer linearer Gleichungssysteme. Dabei spielen spezielle Matrixzerlegungen $A=QR$ mit einer orthogonalen Matrix Q und einer Dreiecksmatrix R eine besondere Rolle. Im Folgenden werden die mathematischen Instrumente zur Lösung von Ausgleichsproblemen bereitgestellt.

Günter Bärwolff

4. Matrix-Eigenwertprobleme

Zusammenfassung

In vielen natur- und ingenieurwissenschaftlichen Disziplinen sind Eigenwertwertprobleme zu lösen. Zur Bestimmung von Eigenschwingungen von Bauwerken oder zur Ermittlung von stabilen statischen Konstruktionen sind Eigenwerte zu berechnen. Aber auch bei der Berechnung des Spektralradius bzw. der Norm einer Matrix sind Eigenwerte erforderlich.

Sowohl bei der Lösung von Differentialgleichungssystemen als auch bei Extremwertproblemen sind Eigenwerte von Matrizen Grundlage für die Konstruktion von Lösungen von Differentialgleichungen oder entscheiden über die Eigenschaften von stationären Punkten.

Bei der Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren werden wir die Ergebnisse des vorangegangenen Kapitels, speziell die QR-Zerlegung einer Matrix, als wichtiges Hilfsmittel nutzen können.

Günter Bärwolff

5. Interpolation und numerische Differentiation

Zusammenfassung

Im Kap. 3 ging es darum, Kurven so durch Punktwolken zu legen, dass die Punkte in gewissem Sinn einen minimalen Abstand zur Kurve haben. In der Regel war es allerdings nicht möglich, alle Punkte mit der Kurve zu treffen.

Bei der Interpolation von Messwerten oder auch Funktionswerten geht es im Unterschied zur Ausgleichsrechnung darum, Kurven zu ermitteln, auf denen vorgegebene Punkte liegen sollen. Es geht i. Allg. darum, zu $n+1$ Stützpunkten $(x_{k},y_{k})$ eine stetige Funktion $f(x)$ zu finden, so dass die vorgegebenen Punkte auf dem Graphen liegen, d. h. $y_{k}=f(x_{k})$ für $k=0,\dots,n$ gilt. Die Interpolation ist eine Möglichkeit, um aus „weit“ auseinander liegenden Messpunkten auch Informationen dazwischen zu erhalten. Bei komplizierten, aufwendig zu berechnenden Funktionsverläufen oder Stammfunktionen ist oft die Approximation durch eine Interpolationsfunktion Grundlage für eine effektive näherungsweise Problemlösung.

Die Mindestanforderung für die Interpolationskurve ist deren Stetigkeit. Mit der Polynominterpolation bzw. der Spline-Interpolation werden allerdings glatte Kurven konstruiert.

Da bei der Konstruktion von Interpolationspolynomen Steigungen bzw. Differenzenquotienten eine Rolle spielen, wird in diesem Abschnitt auch auf die Thematik „Numerische Differentiation“ eingegangen.

Günter Bärwolff

6. Numerische Integration

Zusammenfassung

Die analytische Bestimmung einer Stammfunktion und die damit gegebene einfache Möglichkeit der numerischen Berechnung von bestimmten Integralen ist manchmal sehr aufwendig und oft sogar unmöglich. In solchen Fällen kann man eine näherungsweise Berechnung der Integrale auf numerischem Weg vornehmen. Auch im Fall der Vorgabe von Funktionen in Tabellenform (z. B. Ergebnisse einer Messreihe) kann keine analytische Integration durchgeführt werden. In beiden Fällen ist es möglich, den Integranden als Wertetabelle der Form

$$(x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),\dots,(x_{n},y_{n})$$

vorzugeben, wobei im Fall eines analytisch gegebenen Integranden die Abszissen $x_{0},\dots,x_{n}$ beliebig wählbar sind, während man bei Messreihen an die vorliegenden Messergebnisse gebunden ist.

Dabei wird einmal von der Näherung des bestimmten Integrals durch Riemann’sche Summen ausgegangen. Andererseits werden auf der Basis der Resultate des Kap. 5 zur Interpolation von Funktionen bzw. allgemein vorgegebenen Stützpunkten Methoden zur numerischen Integration dargestellt.

Günter Bärwolff

7. Iterative Verfahren zur Lösung von Gleichungen

Zusammenfassung

Viele Probleme der angewandten Mathematik münden in der Aufgabe, Gleichungen der Art

$$f(x)=0$$

lösen, wobei $f:D\rightarrow\mathbb{R}$ eine nichtlineare, reellwertige Funktion war. Sowohl bei der Berechnung von Nullstellen von Polynomen oder der Auswertung von notwendigen Bedingungen für Extremalprobleme kann man die in der Regel nichtlinearen Gleichungen nur lösen, wenn man Glück hat bzw. weil Beispiele geschickt gewählt wurden. In der Regel ist es nicht möglich, die Lösungen in Form von geschlossenen analytischen Ausdrücken exakt auszurechnen. In den meisten Fällen ist es allerdings möglich, Lösungen als Grenzwerte von Iterationsfolgen numerisch zu berechnen.

Zur guten näherungsweisen Berechnung ist eine Iteration erforderlich. Neben der Lösung nichtlinearer Gleichungen und Gleichungssysteme werden in diesem Kapitel auch iterative Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme behandelt. Die iterative Lösung linearer Gleichungssysteme ist besonders im Fall von Systemmatrizen mit einer regelmäßigen Struktur, die bei der Diskretisierung partieller Differentialgleichungen entstehen, verbreitet.

Günter Bärwolff

8. Numerische Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen

Zusammenfassung

In vielen Bereichen der Ingenieur- und Naturwissenschaften, aber auch in den Sozialwissenschaften und der Medizin erhält man im Ergebnis von mathematischen Modellierungen Gleichungen, in denen neben der gesuchten Funktion einer Veränderlichen auch deren Ableitungen vorkommen. Beispiele für das Auftreten solcher Gleichungen sind Steuerung von Raketen und Satelliten in der Luft- und Raumfahrt, chemische Reaktionen in der Verfahrenstechnik, Steuerung der automatischen Produktion im Rahmen der Robotertechnik und in der Gerichtsmedizin die Bestimmung des Todeszeitpunktes bei Gewaltverbrechen.

In einigen Fällen kann man die Differentialgleichungen bzw. die Anfangswertprobleme geschlossen analytisch lösen und das ausführlich erläuterte Instrumentarium dazu findet man z. B. in Bärwolff [2006] oder Boyce, Di Prima [1995].

In der Regel ist man aber auf numerische Lösungsmethoden angewiesen. Bei den oben genannten Anwendungen in der Raumfahrt oder der chemischen Reaktionskinetik werden gewöhnliche Differentialgleichungen numerisch gelöst, wobei die besondere Herausforderung darin besteht, unterschiedlich schnell ablaufende Teilprozesse genau zu erfassen. Im Folgenden werden einige wichtige Methoden vorgestellt, wobei auf einige Probleme typischer Anwendungsfälle eingegangen wird.

Günter Bärwolff

9. Numerische Lösung partieller Differentialgleichungen

Zusammenfassung

Gleichungen, die partielle Ableitungen von Funktionen mehrerer Veränderlicher enthalten, nennt man partielle Differentialgleichungen. Als Beispiele seien die Schwingungs- oder Wellengleichung, die Wärmeleitungsgleichung, die Maxwell’schen Gleichungen oder die Schrödingergleichung genannt.

Eine Übersicht über Möglichkeiten der analytischen Lösung ist in Bärwolff [2006] zu finden. Im Folgenden sollen einige typische numerische Lösungsmethoden sowie deren funktionalanalytische Grundlagen dargelegt werden, die in der Physik, Struktur- und Strömungsmechanik Anwendung finden. Dabei wird einmal mit der Bilanzmethode ein heuristischer Weg und mit dem Galerkin-Verfahren bzw. der Finite-Element-Methode ein funktionalanalytischer Zugang beschritten. Das Hauptaugenmerk wird auf Differentialgleichungen 2. Ordnung, d. h. Gleichungen, die partielle Ableitungen bis zur Ordnung 2 enthalten, gelegt. Ähnlich wie bei den gewöhnlichen Differentialgleichungen geht es meistens nicht darum, irgendeine Lösung der partiellen Differentialgleichung zu ermitteln, sondern eine, die außer der Differentialgleichung noch gewisse Zusatzbedingungen erfüllt. Als solche Zusatzbedingungen kommen z. B. Vorgaben über die gesuchte Funktion an den Rändern eines räumlichen Gebiets D (Randbedingungen) und/oder für einen Anfangszeitpunkt (Anfangsbedingungen) in Frage. Man spricht von Randwertproblemen, Anfangswertproblemen bzw. Anfangs-Randwertproblemen.

Günter Bärwolff

Backmatter

Titel: Numerik für Ingenieure, Physiker und Informatiker
verfasst von: Günter Bärwolff
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-662-48016-8
Print ISBN: 978-3-662-48015-1
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-48016-8