Numerische Lösungsverfahren bei der Finiten Differenzen Methode

Der erste Schritt zur Erzielung einer numerischen Lösung einer Differentialgleichung ist die Diskretisierung des Lösungsraums und in der Folge die Überführung der Differentialquotienten in Differenzenquotienten. Hierbei ist zwischen Orts- und Zeit-Differentialquoti-enten zu unterscheiden. Die räumliche Diskretisierung des Lösungsraums bestimmt direkt die Lage der räumlichen Stützstellen. Welche Stützstellen zur Approximation der Differentialquotienten herangezogen werden, bestimmt die Ordnung des Differenzenschemas. Die zeitliche Diskretisierung kann sowohl explizit, implizit oder in einer Mischform erfolgen. Interessiert man sich nur für eine stationäre Lösung, dann kann auf das zeitabhängige Glied in der Transportgleichung verzichtet werden. Die Wahl der Zeitdiskretisierung bestimmt dominant die Konvergenzgeschwindigkeit (die Zeit, in der eine Lösung aufgefunden wird), während die Ortsdiskretisierung hauptsächlich die Genauigkeit der Lösung prägt. Eine problemangepaßte Auswahl der Orts- und Zeitdiskretisierung stellt eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung für eine konsistente numerische Lösung dar. Die Konsistenz, d.h. ein schlüssiger Satz von approximierten Lösungsfunktionen, muß jeweils zusätzlich überprüft werden. Insbesondere muß eine Unabhängigkeit der Approximationsfunktion vom gewählten Gitter vorliegen, was La. durch Rechnungen in einem zunehmend feiner werdenden Gitter nachgewiesen werden kann.